Kutxak, bolak eta probabilitatea (III)

PROBLEMA 1
Hiru kutxa ditugu. Lehenengoak bi bola zuri, bigarrenak bat zuria eta beste bat beltza eta hirugarrenak bi beltz ditu. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bertatik bola bat atera dugu. Ateratako bola beltza izan bada, zein da hirugarren kutxa aukeratu izanaren probabilitatea?

Lehenengo eta behin, gertaerak izendatuko ditugu:

• Ki:     i. kutxa aukeratzea.
• B:      Bola beltza ateratzea.
• Ki/B: Jakinda bola beltza atera dela, i. kutxatik hartua izatea
• B/Ki: i. kutxatik bola bat atera dugula jakinda, beltza izatea. 

Labur dezagun problema hau eskema baten bidez,

Hiru kutxetatik bat aukeratzen dugu, bata edo bestea erraztasun berberarekin, hirurak ekiprobableak baitira,

P(K1)=P(K2)=P(K3)=1/3
Probabilitate hauei "a priori" esaten zaie

Ondoren, aukeratutako kutxatik bola bat atera dugu eta beltza izan da.  Gertaera honek aukeratu dugun kutxari buruzko informazio berri bat ematen digu eta aldarazten du aukeraketa honen inguruan geukan iritzia.

Lehenengo kutxa ez da aukeratua izan ez baitu bola beltzik, K1 ezinezko gertaera bihurtu du informazio berri honek, P(K1/B)=0. Pentsa daiteke beste biak ekiprobableak direla, hau da, bata edo bestea aukeratzeko probabilitatea 1/2. Baina, ez da zuzena. Orain ebidentzia nahikiorik dago bi gertaera hauek ekiprobableak ez direla esateko.

Zenbatuko dugu K3-ko bi bolak (beltza1 eta beltza2). Bola bat atera eta beltza dela ikustean, ze koloretakoa geratzen da barruan?, hiru posibilitate daude:

• Bola zuria, bigarren kutxatik beltza hartzen bada.
• Bola beltza1, hirugarrenetik beltza2 hartzen bada.
• Bola beltza2, hirugarrenetik beltza1 hartzen bada.

Hiru aukera hauek, simetria dela eta, ekiprobableak direla dirudi; beraz, bi aldiz probableagoa da bola beltza hirugarren kutxatik hartua izatea bigarrenetik baino,

P(K3/B)=2·P(K2/B) eta P(K3/B)+P(K2/B)+P(K1/B)=1

Hau da: P(K1/B)=0, P(K2/B)=1/3 eta P(K3/B)=2/3
(Probabilitate hauei "a posteriori" esaten zaie)

Tomas Bayesek arau bat asmatu zuen hau bezalako problemak era sistematiko batean ebazteko. Bayesen Teoremak probabilitateen berresleipena automatikoki egiten du eta mota honetako problemak orokortzea ahalbidetzen du.

Bayesen formula problema honetan aplikatuz,

Baldintzak hasierako probabilitaetan duen eragina argiago ikus daiteke honako adibidean:

PROBLEMA 2

Lehenengo kutxan 100 bola zuri, bigarrenean 99 zuri + 1 beltz eta hirugarrenean 100 beltz. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bola bat atera dugu. Azkeneko hau beltza izan bada, zein da aukeratutako kutxa hirugarrena izateko probabilitatea? Edo bestela esanda, apostua egin behar bazenu, zein kutxaren alde egingo zenuke?

Atera dugun bola beltza denez, aurrean daukagun kutxa ez da lehenengoa, beste bi kutxen artean erabaki behar da. Argi dago ez direla ekiprobableak, ezta urrik eman ere!

Hori zorte txarra!, mutur aurrean bigarren kutxa izan (jakin barik bigarrena dela), eskua sartu eta 100 bolen artean dagoen beltz bakarra hartu izan bagenu.

Erabakia ziztu bizian hartuko dugu, hirugarrena bigarrena baino 100 aldiz probableagoa baita.

Bayesen formula erabiliz:

*****

Read More

Kutxak, bolak eta Simpson-en paradoja

 

Simpsonen paradojaren adibide bitxia ikusiko dugu gaurkoan.

Irudian hiru egoera agertzen zaizkigu, eta egoera bakoitzean gure helburua bola gorria ateratzeko probabilitatea optimizatzea da. Nola jokatu behar dugu bola gorria ateratzeko probabilitate ahalik eta handiena izateko?  Kutxa urdina aukeratu behar dugu hiru kasuotan?

Azter dezagun banan-banan:

1.EGOERA

Lehenengo egoeran A kutxan (urdina) 7 bola ditugu eta horietatik 3 gorriak dira; beraz, bola gorri bat ateratzeko probabilitatea 3/7=15/35. Bestetik,  B kutxan (berdea) 5 boletatik 2 gorriak direnez, gorria ateratzeko probabilitatea 2/5=14/35 izango da. Beraz,  kutxa urdina komeni zaigu aukeratzea, gorria ateratzeko probabilitatea handiagoa baita.

2.EGOERA:

 

  

Era berean, bigarren kasu honetan ere  kutxa urdina (A') aukeratzen bada  bola gorria lortzeko probabilitatea handiagoa da 4/6=2/3=22/33. B' kutxan (berdea), ordea, 7/11=21/33.

3.EGOERA:

 

Hirugarren egoeran, kutxak nahastu ditugu: A + A' (13 bola denera = 7 gorri + 6 zuri) eta B + B' (16 bola denera = 9 gorri + 7zuri) . Baina, uste izaten denaren aurka, oraingo honetan aldatzea komeni da, B + B' kutxa (berdea) aukeratzen badugu gorria lortzeko probabilitatea hobetzen baita ( 7/13 txikiagoa da 9/16 baino).

Geogebrako applet honetan, kutxa bakoitzaren osaera aukeratu ondoren,  grafikoki azter ditzakegu  probabilitateak eta zein kasuetan ematen den Simpsonen paradoja zehaztu. X ardatzean bola kopurua guztira eta Y ardatzean gorrien kopurua adierazita daudenez, zuzen bakoitzaren maldak kutxa bakoitzetik (A, A', B eta B') eta kutxen elkarketatik (A+A' eta B+B') bola gorria ateratzeko probabilitatea ematen digu. Zuzenkiak planoko bektoreak balira moduan ere har ditzakegu, non malda=Vy/Vx= P(gorria) den.

Klikatu irudiaren gainean:



Gertaera paradogiko hau Colin R. Blyth-ek aurkitu zuen 1951. urtean E. H. Simpsonen artikulu bat irakurtzean, eta "Simpsonen paradoja" moduan izendatu zuen.

Paradoja honen beste adibide batzuk:

http://eginmatematika.blogspot.com.es/2014/01/simpson-en-paradoja-portzentaje.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Simpson

http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/S71.pdf 

 

Read More

Kutxak, bolak eta probabilitatea (II)

Aurreko sarrera batean ("kutxak, bolak eta probabilitatea") probabilitateko hiru problema proposatu nituen. Oraingo honetan, bertako 2. problema orokortzen saiatuko gara. J.M. Irastorzak MATEmatikaSI Webgunean aipatzen du gaurko problema, Sestaoko XV. Matematika Jardunaldi Pedagogikoetan Fernando Corbalan irakasleak proposatutakoa. Eta, nola ez?, Ni ere erakarri nau, ustekabeko emaitza gordetzen duen horietakoa baita.



Guztira bi koloretako zenbat bola sartu behar dira kutxa batean bertatik bi bola ateratzerakoan biak kolore berekoak zein kolore desberdinekoak izateko probabilitatea berbera izan dadin?

Hau da, P(biak kolore berekoak) = P(biak kolore desberdinekoak) = 1/2

Kolore bakoitzeko zenbat bola daude?





AZALPENA

Zenbaki karratuak eta triangeluarrak probabilitaterekin lotuta agertzen zaizkigu problema honetan. 

 

Read More

Banaketa Normala

Probabilitate banaketa jarraien artean ezagunena, ohizkoena (normalean erabiltzen dena) banaketa normala da; gogoratu probabilitate banaketa diskretu batzuk, zenbait baldintzen menpe, banaketa normalera hurbildu eta eraldatu egin daitezkeela.
Hona hemen gai honen laburpen teorikoa (ez daude puntu guztiak zehatz mehatz garatuta) eta ariketa ebatziak banaketa binomiala eta normalari buruzkoak. Egin klik loturetan:

Banaketa Normala(teoria)

Ariketa ebatziak

Read More

Banaketa Binomiala

Hemen duzue banaketa binomilaren laburpen teorikoa eta gaiko ariketa batzuk ebatzita. Sakatu azpimarratuta daudenen loturetan eta PDFan eskuratuko dituzue, irakurri edo inprimatzeko.

Banaketa Binomiala

Ariketa ebatziak(Binomiala)

Read More