Probabilitate problema erakargarriak. Bertrand-en kutxaren paradoxa.

Joseph Bertrand (1822-1900) matematikari frantziarrak "Calcul des probabilités"  liburuan "Bertrand-en kutxaren paradoxa" izenarekin ezaguna den probabiliate problema proposatun zuen.

Problema honen aldaera ugari daude, baina guztietan sortzen den paradoxak jatorri bera du: gertaeren independentzia eta gertaera baldintzatuak bereizteko zailtasunak, eta baita lagin espazioa determinatzeko ere. Askoren ustean orain gertatutako gertaera batek ezin du eraginik izan aurretik gertatutako gertaera batean;akats honi, "denboraren ardatzaren falazia" esaten zaio.

Problemaren hainbat bertsio ikusiko ditugu jarraian, denak oso erakargarriak eta motibagarriak. Eztabaida sutsuak eta mamitsuak sor daitezke gelan edota lagunen artean proposatzen badira.

1. BERTRAND-EN KUTXAREN PARADOJA

Hiru kutxa daude bakoitzak bi kutxatxo barruan dituelarik eta kutxatxo bakoitzaren barruan txanpon bana. Lehenengo kutxan urrezko bi txanpon daude, bigarrenean urrezko txanpon bat kutxatxo batean eta zilarrezko bat bestean eta hirugarren kutxan zilarrezko bi txanpon. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, zoriz ere barruko kutxatxo bat aukeratzen eta barruan dagoen txanpona ateratzean urrezkoa dela ikusten da.

Zein probabilitatea dago kutxako beste kutxatxoan dagoen txanpona ere urrezkoa izateko?

Adi! Intuizioak sarritan kale egiten digu eta. Baldintzaren eragina ez da kontuan hartzen eta txanpon bat atera ondoren ere gertaerak ekiprobableak direla uste izaten da sarri askotan.
Hasiera batean, hiruren artean kutxa bat aukeratzen denean, probabilitate bera dago edozein aukeratzeko (1/3), gertaera ekiprobableak baitira.

Behin kutxa bat aukeratua izan denean eta bertatik urrezko txanpona atera ondoren, egoera berri baten aurrean gaude. Informazio berri bat dugu, eta informazio honek lagin espazioa aldatu edo murriztu egiten du, zilarrezko bi txanpon dituen kutxa baztertzen baitu. Eta gainera, bi gertaerak (1. kutxatik edo 2. kutxatik aterata izatea) ekiprobableak ez direla nahiko ebidentzia dago. Badirudi atera den txanpona urrezkoa izateak, 1. kutxatik (urrezko bi txanponak dituena) aterata izatea errazagoa dela pentsatzera eramaten gaituela (kontuan izan 2. kutxan urrezko bakarra dagoela). 
Izenak ipiniko dizkiegu urrezko txanponei: 1. kutxan urrezko A eta urrezko B eta 2. kutxan urrezko C eta zilarrezkoa. Atera den urrezko txanpona A, B edo C da, baina bereizgarririk ez dutenez, ezin da jakin hiru horietako zein den. Beraz, hiru kasu hauek bereizten dira:

     Urrezko A atera, barruan urrezko B
     Urrezko B atera, barruan urrezko A
     Urrezko C atera, barruan zilarrezkoa

Hiru kasuetatik bitan barruan urrezkoa txanpona dagoenez, barruan dagoen txanpona urrezkoa izateko probabilitatea edo, berdina dena, txanpona 1. kutxatik aterata izatekoa 2/3 da eta barruko txanpona zilarrezkoa izateko 1/3.


Problema bera beste era batean enuntziatuta, urrezko eta zilarrezko txanponen ordez bola beltzak eta zuriak erabiliz:

2. BERTRANDEN KUTXAREN PARADOXA (2)

Hiru kutxa ditugu. Lehenengoak bi bola zuri, bigarrenak bat zuria eta beste bat beltza eta hirugarrenak bi beltz ditu. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bertatik bola bat atera dugu. Ateratako bola beltza izan bada, zein da hirugarren kutxa aukeratu izanaren probabilitatea?

AZALPENA: "Kutxak, bolak eta probabilitatea (III)"

3. BI TXANPONAK 

Kutxa batean bi txanpon ditugu. 1. txanponak bi aldeak zuriz margotuta ditu eta 2. txanponak alde bat zuriz eta bestea gorriz. Zoriz txanpon bat hartu, airera jaurti eta zuria irten da.
Zer da probableago, ikusten ez den aldea zuria ala gorria izatea?
Bigarren aldiz txanpon bera jaurtitzen da eta berriz ere zuria irten da. Zein da ikusten ez den aldea zuria izateko probabilitatea?

Azalpena

Gora begira irten den aldea zuria denez, beste aldearentzat bi aukera daude gorria ala zuria. Beraz, probabilitatea bera dago, 1/2. Baina, arrazoibide hau okerra da.

Egia da ezkutuan dagoen aldea zuria ala gorria izan daitekeela; hau da, lagin espazioa aurpegi honentzat: {Zuria, Gorria}, baina, gertaera hauek ez dira ekiprobableak.

Bi txanpon daude: (Z₁,Z₂), (Z₃,G); hau da, lau aurpegi. Lau aurpegietatik 3 zuriak eta bat gorria da. Ikusten den aldea zuria denez, eskutuan dagoen aldearentzat hiru aukera daude: bi zuri eta bat gorri.

  ➤ Z₁ ikusten bada, beste aldean: Z₂
  ➤ Z₂ ikusten bada, beste aldean: Z₁
  ➤ Z₃ ikusten bada, beste aldean: G

Beraz, txanpona jaurti ondoren zuria irten bada, probableagoa da ikusten ez den aldea zuria izatea, honen probabilitatea gorria izatearen bikoitza da:

               P(Z) = 2/3   eta   P(G) = 1/3

➤Irudi baten laguntzaz argiago ikusiko da:

➤Kontigentzia taula baten laguntzaz:

Ikusten den aldea zuria denez, lagin espazioa murriztu egin da, lehenengo zutabeari begiratu behar diogu soilik. 3 aurpegi zuri daude, eta hauetatik 2 dagozkio bi aldeak zuriz margotuta dagoen txanponari; hau da, 1. txanponari. Ondorioz, gorria baino bi aldiz probableagoa da azpiko aldea zuria izatea:

P((Z,Z)/ikusi Z)=2/3  eta  P((Z,G)/ikusi Z)=1/3


➤Zuhaitz digrama baten bidez,

➤Bayesen teoremaz ere ebatz daiteke:

4. HIRU TXANPONAK 

Hiru txanpon ditugu, batak bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartzen ditugu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahai gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela.
Apustua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela, zein aukeratuko zenuke? Zer da probableagoa, ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? 

Azalpena

Hasieran hiru txanpon daude,eta zoriz txanpon bat hartzen da; beraz, lagin espazioa: {1. txanpona, 2. txanpona, 3. txanpona}. Hiru gertaera hauek ekiprobableak dira (P = 1/3).

Txanpon bat hartu, mahai gainean bere aurpegietako bat gora begira jarri eta zuria dela ikusterakoan, lagin espazioa aldatu egiten da, bi aldeetatik gorria den txanpona (2. txanpona) ez dela aukeratua izan dakigulako. Lagin espazioa: {1. txanpona, 3. txanpona}. Baina orain bi gertaera hauek ez dira ekiprobableak eta bi txanponen problema ebatzi dugun eran ebatziko genuke hau ere.


5. MONTY HALL

Telebistako lehiaketa programa batean, lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago, kotxe bat, eta beste bietan ahuntza bana.

Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (ondo daki saria non dagoen) atzean ahuntza gordeta duen ate bat irekitzen du. Bi ate gelditzen dira: lehiakideak aukeratutakoa eta bestea.

Azalpena: HEMEN

6. PRESOAREN DILEMA

Hiru pertsona (A-B-C) preso daude epaiketaren zain. Hiruretako bat hiltzera kondenatua izango da eta beste biak libre irtengo dira. Epaileak erabakia zoriz hartuko du.

Epaileak A presoari C presoa libre irtengo dela esan dio eta, jarraian, galdetu dio ea nahi duen aldatu edo trukatu berarentzat hartuta dagoen erabakia B presoarekin.

Zer egin beharko luke A presoak? Trukea onartu ala ez?

Azalpena: HEMEN

7. ENEKOREN LAGUNEN PARADOXA 

Enekok uztaila osoan Irlandan igaro ondoren, bueltan da aireportuan. Aita eta ama bere bila hurbildu dira aireporturaino.

Aitak honela galdetu dio semeari: "Lagun berririk egin duzu?", Enekok: "bai, bi lagun".
Aitak berriz: "lagunen bat neska al da?", "bai" erantzun dio Enekok.
Orduan, bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/3 da. Zergatik?




Ondoren, amak: "urrutitik ikusi dudan gorriz jantzita doan laguna neska al da?" Enekok: "bai".
Orduan, Enekoren bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/2 da. Zergatik?

AZALPENA: HEMEN

*****

Read More

Probabilitate bi problema: Monty Hall eta Presoaren Dilema.

Egunotan probabilitatea izan dugu protagonista batxilergoko klase  orduetan. Intutuizioa axiomatikaren gainetik jarriz, hainbat problema paradoxiko eta anti-intuitibo ebazteari ekin diogu. Horien artean, gaurko artikulu honetan aztertuko ditugun "Monty Hall-en problema" eta "Presoaren dilema". Monty Hall-en problema bigarren aldiz proposatzen dut nire blogean, aurreko sarrera batean izan genuen ere aztergai: HEMEN 

"MONTY HALL"

Telebistako lehiaketa programa batean, lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago, kotxe bat, eta beste bietan ahuntza bana.

Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (ondo daki saria non dagoen) atzean ahuntza gordeta duen ate bat irekitzen du. Bi ate gelditzen dira: lehiakideak aukeratutakoa eta bestea.

Jarraian, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko: lehen aukeratutako atea utzi eta bestea hautatu.

Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?

Intuizioari eutsiz azter dezagun problema hau lasaitasunez.

Zoriz hiru ateetatik bat hautatzen dugunean, kotxe berrian etxera itzultzeko izango dugun probabilitatea 1/3 da. Igo al daiteke probabilitate hau atez ez aldatzea erabakitzen bada?

Lehenengo irakurketan pentsa liteke atez aldatzeak ez digula inolako bentajarik ekarriko, aldatu ala ez kotxea irabazteko probabilitatea 1/2 dela. Baina, 1/2 bada, igo egin da; orduan, aurkezleak ahuntza duen ate bat zabaltzeagatik hasierako 1/3ko probabilitatea igo egin da 1/2ra?  Nola? Benetan hala da? Zer dela eta 1/2? Bi ate gelditzen direlako? Ez al genekien beste bi ateetako batean, gutxienez batean, ahuntz bat zegoela? Inporta al da ate hori zabalik egotea gure atea ez uztea erabaki badugu? Ate aldaketarik ez badago, irabazteko probabilitatean ere ez da aldaketarik emango.

Bildu beste bi ateak eta hartu bloke bat moduan. Argi dago bloke honetan kotxea egoteko probabilitatea 2/3 dela, eta aukera izanez gero, bloke osoa hautatuko genukeela. Bloke honetako sari gabeko ate bat irekitzen denean, blokeak jarraitzen du izaten 2/3ko probabilitatea, baina orain guztia ireki gabe dagoen atera pasa da. Aurkezleak aldatzeko proposamena egiten digunean, bloke osoa eskaintzen digu (irekita dagoen atea ez dugu ezertarako nahi, ez guk, ez berak). Ondorioz, atez aldatzea komeni zaigu, irabazteko probabilitatea bikoiztu egiten baita.

Hobeto ulertzeko alda dezagun problemaren enuntziatua. Hiru sobre daude, batean premio on bat (kotxea) eta beste bietan ezer ez (edo ahuntza bana). Zoriz sobre bat aukeratu dugu eta aurkezleak beste bietatik sari gabeko sobre bat zabaltzen du. Hutsik dagoenez, oparitu egiten dizu. Jarraian, zuk aukeratutako sobrea ireki gabe dagoenarekin aldatzeko proposamena luzatzen dizu. Ez zenuke aldatuko? Funtsean, hasierako bi sobreak eskaini dizkizu. Ireki gabeko sobrean 2/3ko probabilitatea metatu da; beraz, aldatzea komeni zaizu.

Jokalari baten estrategia atez aldatzea bada, ondorengo zuhaitz diagraman labur daiteke irabazteko duen probabilitatea:

Estrategia atez ez aldatzea denean:

Aurkezpenean honetan hainbat azalpen proposatzen dira:

*****

"PRESOAREN DILEMA"

Hiru pertsona (A-B-C) preso daude epaiketaren zain. Hiruretako bat hiltzera kondenatua izango da eta beste biak libre irtengo dira. Epaileak erabakia zoriz hartuko du.
Epaileak A presoari C presoa libre irtengo dela esan dio eta, jarraian, galdetu dio ea nahi duen aldatu edo trukatu berarentzat hartuta dagoen erabakia B presoarekin.

Zer egin beharko luke A presoak? Trukea onartu ala ez?

Problema hau "Monty Hall"-en problemarekin uztartu daiteke honako identifikazio hauek eginez: 

Aske geratzea ➪ Ahuntza irabaztea

Hiltzera kondenatuta izatea ➪ kotxea irabaztea

C presoa aske geratuko dela jakitea ➪ Ahuntza duen ate bat zabaltzea

Beraz, oraingo honetan ez aldatzea komeni zaio, ateen probleman ahuntza irabazteko estrategia bera, honela hasieran aske geratzeko zeukan probabilitatea 2/3 mantenduko du. Aldatzen badu probabilitatea 1/3 izatera pasatuko litzateke.

*****

Read More

Probabilitate problema. Oinarrizko proportzioaren falazia.

Hiri bateko biztanleen % 90 zuriak dira eta % 10 beltzak. Hiri horretan delitu bat gertatu da, gauean etxe batean lapurretan egin dute.

Auzokide batek lapurra gizon beltz bat izan dela deklaratu du. Deklarazio hau kontuan harturik, poliziak gizon beltz bat atxilotu eta erruduntzat hartu du.

Salaketari indarra eman nahian, lapurreta gertatu zen ordu berean eta baldintza berdinetan proba bat egiten diote lekukoari, eta honek lapurraren azal kolorea % 80 aldiz asmatzen du.

Badago lapurreta leporatzerik lekukoak esandakoarekin? Hau da, lekukoak lapurra beltza dela esan badu, zein da benetan lapurra beltza izateko probabilitatea?

🔷🔷🔷

Probabilitate problema paradoxikoa dugu gaurko hau, eta oinarrizko proportzioaren falazia izenarekin ezagutzen da.

Joera handia izaten dugu eskaturiko probabilitatea lekukoak proban  izandako % 80rekin identifikatzeko. Baina ez da hori, kontuan izan behar dugu lekukoak esaten duenak baldintzatzen duela benetan lapurra beltza izatearen probabilitatea. Bestelako proportzio bat erabili beharra dago, non lekukoak esandakoa kontuan izaten den.

Jarraian azalpen bat doakizue:

🔷AZALPENA🔷

*****

Read More

Probabilitatea eta banaketa justua.

Martxel eta Erika, matematikako irakaslearen erretolikaz asperturik, gogoz ari dira jolasten. Zorizko joko bat asmatu dute, 6 puntu lortzen dituena 32 € irabaziko ditu (bakoitzak 16 € ipini ditu). Erikak 5 puntu eta Martxelek 3 dituztenean txirrinak jo du eta jokoa eten egin behar izan dute.

Martxelek zera proposatu dio Erikari: “32 euroak lorturiko puntuen arabera banatuko ditugu, 4 € puntu bakoitzeko, 20 zuretzat eta 12 niretzat, ados?” 

Erika probabilitate klaseetan adi-adi egon denez, badaki proposamena ez dela justua eta ez du onartzen. Zergatik ez du onartu? Nola egin behar da banaketa?

(Problema hau Fibonaccik (1180-1250) proposatu zuen “Liber Abaci” liburuan eta Luca Paciolik (1445-1514) gaizki ebatzi zuen)

AZALPENA

Read More

Karratuen jokoa eta probabilitatea

PROBABILITATE PROBLEMA

Ezkutuan eta zoriz irudiko puntuak zenbakitu dira 1etik 20ra. A, B eta C jokalariek txandaka 4 zenbaki aukeratuko dituzte, 1etik 20ra, lau puntuak lotzerakoan karratu bat lortu nahian. A hasiko da, ondoren B eta azkenik C (hirurek esango dute konbinazio bat, baina aurretik esandako konbinazioa, lau zenbakiak, errepikatu gabe).

a) Zenbat karratu eraiki daitezke lau puntu lotuz?

b) Zein da lehenengo txandan jokalari bakoitzak aukeratutako zenbaki konbinazioarekin karratu bat lortzeko duen probabilitatea?

c) Zein da zortzigarren konbinazioa esatean lehenengo aldiz asmatzeko probabilitatea?

d) Esandako lehenengo 7 konbinazioetan inork ez duela asmatu jakinda, zein da 8. konbinazioa esatean asmatzeko probabilitatea?

e) Zenbat konbinazio oker esan behar dira hurrengoko konbinazioa esatean asmatzeko probabilitatea %1 izan dadin?

EBAZPENA

*****

Read More

Triangeluak eta probabilitatea (II)

Hona hemen, probabilitate problema polit bat. Probabilitate geometrikoa lagungarri gerta dakizueke problema honetan.

Gogoz pentsatu eta astindua eman!


PROBLEMA

Segmentu batean (edozein luzeratakoa, nahi bada unitate batekoa) zoriz bi puntu aukeratuko ditugu, eta honela segmentua hiru zatitan banatuta geratuko da. Ondoren, zatiekin triangelu bat eraikitzen saiatuko gara.

Argi dago aukeratutako puntuen arabera ez dela kasu guztietan posible izango triangelua lortzea.

Zein da hiru zatiekin triangelu bat eraiki ahal izateko izango dugun probabilitatea?

SOLUZIOA ETA EBAZPIDEA  (3)

*****

Read More

Triangeluak eta probabilitatea

Zoriz 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki erreal positibo x eta y aukeratu ditugu.

Zein da x, y eta 1 luzerako zuzenkiak erabiliz triangelu kamutsa eraiki ahal izateko izango dugun probabilitatea?

SOLUZIOA ETA EBAZPIDEA (1)

*****

Read More

Enekoren lagunen paradoxa

Enekok uztaila osoan Irlandan igaro ondoren, bueltan da aireportuan. Aita eta ama bere bila hurbildu dira aireporturaino.
Aitak honela galdetu dio semeari: "Lagun berririk egin duzu?", Enekok: "bai, bi lagun".
Aitak berriz: "lagunen bat neska al da?", "bai" erantzun dio Enekok

Orduan, bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/3 da.

Zergatik?

Ondoren, amak: "urrutitik ikusi dudan gorriz jantzita doan laguna neska al da?" Enekok: "bai".

Orduan, Enekoren bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/2 da.

Zergatik?

Read More

Monty Hall-en problema

1963tik 1990ra Estatu Batuetako telebistan Monty Hall-ek aurkezten zuen "Let's Make a Deal" lehiaketa programa emititu zuten. 

Programaren dinamika, hauxe da:

Programaren bukaera aldera lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago eta beste biak hutsik daude (jatorrizko programan, beste bietan ahuntza bana zegoen). Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (honek ondo daki saria non dagoen) hutsik dagoen (edo atzean ahuntza duen atea) irekitzen du. Ondoren, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko, lehen aukeratu duen atea utzi eta bestea hautatu.
Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?


Problema hau "Monty Hall-en problema" izenarekin ezaguna da, eta oso historia polita du atzean:

Garai hartan oso ezaguna zen Marilyn vos Savat, Errekorren Guinness Liburuan agertzen zen munduko koefiziente intelektual handiena zuelako (228). Marilyn-ek "Preguntas a Marilyn" egunkari zutabean idazten zuen. Behin, zera idatzi zuen: "¿Abantaila dago atea aldatzea erabakitzen bada?". "Bai, hobe da aldatzea, beti aldatu beharko genuke". Kritikak handik eta hemendik iritsi zitzaizkion; 10.000 inguru gutun jaso zituen, horien artean irakasle eta matematikariek idatzitakoak ere: "irabazteko probabilitatea eta galtzekoa ere ate bat ireki ondoren 1/2 da", "aitortu zure akatsa, eta hurrengoan zuhurtasunez jokatu", "zenbat matematikari gehiagok idatzi behar dizute iritziz aldatzeko"...

Marilyn-ek arrazoia zeukan, eta idatzi zioten guztiek huts egin zuten. Atez aldatzen bada irabazteko probabilitatea nabarmen handitzen da (bikoiztu egiten da).



AZALPENA

21 Black Jack pelikulan ematen den azalpena:

  

Raul Ibañezen azalpena:

Azalpena eskema baten bitartez:

Problema honi buruz:    Suma aldizkaria
                                   Hiru ateen problema

Problema hau oso erakargarria da probabilitatearen gaiari hasiera emateko, eta, bide batez, probabilitate problema batzuk ez direla batere intuitiboak ikasleei ikusarazteko. DBH-ko 2. zikloan lantzen da probabilitatea, baina, 1. ziklokoan problema moduan aurkez daiteke.  Problema aurkeztu ondoren galdetuko diegu ea beraiek zer egingo luketen. Jarraian, planteatu dezakegu problema bera baina 100 aterekin: bat aukeratzen da eta hutsik dauden 98 ate ireki ondoren, aldatzeko aukera eman, ¿zer egingo zenukete kasu honetan?

*****

Read More

Tenis-partidak eta probabilitatea

Hona hemen intuizioari burla egiten dion probabilitate-problema polit bat. Ikerketa moduan proposatu daiteke DBH 4. mailan edota Batxilergoan.

DBH-ko 4. mailako ikasleek kurtso amaierako ikas-bidaia antolatu dute, baina bi helduren laguntza behar dute ikas-bidaira joan ahal izateko. Matematikako irakasleak, Elena eta Rakel, gonbidatu dituzte arduradun moduan joateko; baina hauek, probabilitatearen gaiarekin dihardutela aprobetxatuz eta ikasleak motibatzeko asmoz,  ondoko problema erakargarria proposatu diete:

"Dakizuen moduan Elenak eta biok tenisa oso gustoko daukagu. Jokatu ere ahal dugunean egiten dugu, baina Rakel ni baino trebeagoa da, hobeto jokatzen du. Aukeratu behar duzue zeuen artean gelako txapelduna, onena noski!, gure kontra hiru partida jokatzeko; baina partida bakoitzean aurkariaz aldatu behar du (Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel). Bi partida jarraian irabazten baditu ikas-bidaiara joango gara...

Beno, errazagoa ipiniko dizuegu. Arrazoi probabilistikoak emanez, ondorengo galderari ondo erantzuten badiozue, joango gara:

Zein aukeratu behar duzue lehenengo partidarako Elena ala Rakel, bi partida jarrain irabazteko probabilitatea handiagoa izan dadin?

Beste era batean esanda, Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel, zein ordenetan komeni zaizu aukeratzea aurkariak?

Zergatik?"

Demagun zuen ordezkariak Rakeli irabazteko duen probabilitatea p eta Elenari irabaztekoa q dela. Argi dago p txikiagio dela q baino. Errazago iruditzen bazaizue, eman balio bat, nahi duzuena, p-ri eta beste bat q-ri.



Buruari eragin gogoz eta, ondoren, begiratu hemen proposatzen den soluziobidea:



SOLUZIOA



*****

Read More

Kutxak, bolak eta probabilitatea (III)

PROBLEMA 1
Hiru kutxa ditugu. Lehenengoak bi bola zuri, bigarrenak bat zuria eta beste bat beltza eta hirugarrenak bi beltz ditu. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bertatik bola bat atera dugu. Ateratako bola beltza izan bada, zein da hirugarren kutxa aukeratu izanaren probabilitatea?

Lehenengo eta behin, gertaerak izendatuko ditugu:

• Ki:     i. kutxa aukeratzea.
• B:      Bola beltza ateratzea.
• Ki/B: Jakinda bola beltza atera dela, i. kutxatik hartua izatea
• B/Ki: i. kutxatik bola bat atera dugula jakinda, beltza izatea. 

Labur dezagun problema hau eskema baten bidez,

Hiru kutxetatik bat aukeratzen dugu, bata edo bestea erraztasun berberarekin, hirurak ekiprobableak baitira,

P(K1)=P(K2)=P(K3)=1/3
Probabilitate hauei "a priori" esaten zaie

Ondoren, aukeratutako kutxatik bola bat atera dugu eta beltza izan da.  Gertaera honek aukeratu dugun kutxari buruzko informazio berri bat ematen digu eta aldarazten du aukeraketa honen inguruan geukan iritzia.

Lehenengo kutxa ez da aukeratua izan ez baitu bola beltzik, K1 ezinezko gertaera bihurtu du informazio berri honek, P(K1/B)=0. Pentsa daiteke beste biak ekiprobableak direla, hau da, bata edo bestea aukeratzeko probabilitatea 1/2. Baina, ez da zuzena. Orain ebidentzia nahikiorik dago bi gertaera hauek ekiprobableak ez direla esateko.

Zenbatuko dugu K3-ko bi bolak (beltza1 eta beltza2). Bola bat atera eta beltza dela ikustean, ze koloretakoa geratzen da barruan?, hiru posibilitate daude:

• Bola zuria, bigarren kutxatik beltza hartzen bada.
• Bola beltza1, hirugarrenetik beltza2 hartzen bada.
• Bola beltza2, hirugarrenetik beltza1 hartzen bada.

Hiru aukera hauek, simetria dela eta, ekiprobableak direla dirudi; beraz, bi aldiz probableagoa da bola beltza hirugarren kutxatik hartua izatea bigarrenetik baino,

P(K3/B)=2·P(K2/B) eta P(K3/B)+P(K2/B)+P(K1/B)=1

Hau da: P(K1/B)=0, P(K2/B)=1/3 eta P(K3/B)=2/3
(Probabilitate hauei "a posteriori" esaten zaie)

Tomas Bayesek arau bat asmatu zuen hau bezalako problemak era sistematiko batean ebazteko. Bayesen Teoremak probabilitateen berresleipena automatikoki egiten du eta mota honetako problemak orokortzea ahalbidetzen du.

Bayesen formula problema honetan aplikatuz,

Baldintzak hasierako probabilitaetan duen eragina argiago ikus daiteke honako adibidean:

PROBLEMA 2

Lehenengo kutxan 100 bola zuri, bigarrenean 99 zuri + 1 beltz eta hirugarrenean 100 beltz. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bola bat atera dugu. Azkeneko hau beltza izan bada, zein da aukeratutako kutxa hirugarrena izateko probabilitatea? Edo bestela esanda, apostua egin behar bazenu, zein kutxaren alde egingo zenuke?

Atera dugun bola beltza denez, aurrean daukagun kutxa ez da lehenengoa, beste bi kutxen artean erabaki behar da. Argi dago ez direla ekiprobableak, ezta urrik eman ere!

Hori zorte txarra!, mutur aurrean bigarren kutxa izan (jakin barik bigarrena dela), eskua sartu eta 100 bolen artean dagoen beltz bakarra hartu izan bagenu.

Erabakia ziztu bizian hartuko dugu, hirugarrena bigarrena baino 100 aldiz probableagoa baita.

Bayesen formula erabiliz:

*****

Read More