Matemagiaz blai (II)

Bederatzia zenbaki emankorra eta jolastia dugu. Hainbat zenbaki eta kartetako joku bederatziaren propietate berezietan oinarritzen dira. Gure zenbaki sitemaren oinarria den 10tik horren gertu egoteak (unitate batera) badu zerikusirik.
Ona hemen 9ren propietate miresgarrietan oinarritzen diren hainbat adibide:

BEDERATZIAREN MULTIPLOA

Jolastu lagun batekin ondoko eran,

1. Bi zifrako zenbaki bat pentsatzeko esan (Ad.: 38)
2. Zenbaki hori bider 10 egiteko (380)
3. 90 baino txikiagoa den 9ren múltiplo bat aukeratzeko (18)
4. Bigarren ataleko emaitzari kentzeko hirugarren atalean aukeratutakoa(380-18=362)
5. Azkeneko emaitza esateko eskatu. Hasierako zenbakia erraz asmatuko duzu (36+2=38)

Nahikoa duzu bostgarren pausoan lagunak esandako zenbakia bitan banatzea: ehuneko eta hamarrekoen zifrek eratutako zenbakia eta unitateen zifra. Bi hauek batuz gero, hasierako zenbakia daukagu.

Baina zergaitik? Zein da joku honen azalpen matematikoa?

Aljebra apur bat erabiltzea besterik ez duzu:

AZALPENA

EZABATUTAKO ZIFRA

Ikaskideen aurrean boluntario bat eskatu laguntzeko eta ondorengo pauso hauek jarraitzeko eskatu:

• Pentsatu 4 zifrako zenbaki bat
• Pentsatutako zenbakiaren zifren batura egin
• Batura hori hasierako zenbakiari kendu
• Kenketaren emaitzean zero ez den nahi duzun zifra ezabatu
• Ezabatu gabeko zifrak nahi duzun ordenean esan ozenki.

Guztien harridurako, berehalako batean lagunak ezabatutako zifra zein den asmatu egingo duzu.

Nola? Zertan oinarritzen da?  (gogoratu zenbaki bat 9ren multiploa izateko baldintza)

Saia zaitez azalpena bilatzen. 

AZALPENA

HIRU ZIFRAKO ZENBAKIA

Ikasle batek kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat aukeratu behar du. Ondoren, ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu behar ditu zenbaki berri bat lortzeko. Aurreko bi zenbakien arteko diferentzia (handia ken txikia) kalkulatu eta diferentzia horren azkeneko zifra esaten badizu (berdin lehenengoarekin), diferentziaren beste bi zifrak asmatuko dituzu, guztiak aho zabalik utzita.

AZALPENA

1089

Aurreko jokoaren aldaera bat da.

Aurretik iragarri azkeneko emaitza 1089 izango dela. Jarraian goiko jokuan egin dugun moduan jokatu. Kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat auketu (lehenengo zenbakia), ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu (bigarrena),  diferentzia kalkulatu (hirugarrena), kenketaren emaitzean ere ehuneko eta batekoen zifrak trukatu (laugarrena) eta azkenik bi hauek (hirugarrena eta laugarrena) batu. Hortxen dago aurresan dugun zenbakia: 1089.

Adibidea:

• 328 aukeratutako zenbakia (lehenengoa)
• 823 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (bigarrena)
• 823-328=495 diferentzia (hirugarrena)
• 594 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (laugarrena)
• 495+594=1089 hirugarrena eta laugarrena batuz

Ea asmatzen duzun zergatia. Gogoratu hiru zifrako zenbaki baten idazkera hamarren berreduren menpe:  abc=100a+10b+c eta cba=100c+10b+a.

 Suma  aldizkarian (52 zenbakian) 9ren magia duzue "Grupo Alquerque de Sevilla"ren eskutik "La Magia del Nueve" artikuluan.

Read More

Zenbakiak eta geometria

Kontatzeko erabiltzen ditugun zenbakiek nolabaiteko magia ezkutua izaten dute beren baitan, banan-banan aztertzen direnean antzematen ez dena. Gizakien modura, beraien artean erlazionatu behar izaten dira magiaren disdira  ikusgarria antzemateko.

Ezusteko deigarri ugari eskaintzen dizkigute elkarrekin aurkezten zaizkigunean. 

Ondoren datorrena, horren adibide:

Eta oraingoan, karratura berretuta dauden zenbakien arteko diferentzia 2 denean:

 
 Eta diferentzia 3 denean:

 Orokorrean, diferentzia "d" bada:

Eta bukatzeko, lehenengoarekin lotura estua duen beste hau:

Aljebraren logikak berehalako batean egiaztatzen dizkigu erlazio hauek. Baina, holako argumento logiko-aljebraikoarekin benetan ulertzen dugu zenbakizko erlazio hauek gordetzen duten magia? 

Planteamendu geometrikoek hobeto azaltzen dituzte egoera hauek, agerian uzten baitute zergatia, barneko mamia. 

Bi argumentuak, aljebraikoa eta geometrikoa, analogoak badira ere; bigarrenak, lehenengoa azaltzen du.


Bideo honetan zenbakiak eta geometria lotzen dira goian ikusitako lehenengo eta azkeneko erlazioak azaltzeko:

*****

Read More

"La Habitación de Fermat" eta problemen ebazpena

2007an estreinatu zen Luis Piedrahitak eta Rodrigo Sopeñak zuzenduriko "La Habitación de Fermat", intriga eta matematika era erakargarrian uztartzen dituen pelikula. Erreferentzia matematiko ugari eta logikazko hainbat problema edo enigma  klasiko agertzen zaizkigu filmaren zehar. 

Ozpe handiko lau matematikari, Galois, Hilbert, Oliva Sabuco eta Pascal ezizenekin, goi mailako matematikarien bilera batera gonbidatuak izan ondoren, gela batean giltzapetuta geratuko dira. PDA baten bitartez zenbait problema proposatuko zaizkie eta minutu bat izango dute erantzuna aurkitzeko; erantzun zuzena aurkitu bitartean, gela tamainaz txikiagotzen joango da. Gelatik bizirik irtetzea, protagonistek problemak ebazten erakusten duten trebetasunaren menpe egongo da.

Matematikaren aurpegi motibagarria agerian uzteko baliabide didaktiko paregabea da "La Habitación de Fermat"; ikasleen arreta gureganatzen eta problemen ebazpena erakargarriago bihurtzen  laguntzen digu. 

Ikasturte honetan Matematika Tailerrari hasiera emateko pelikula hau ikusi dugu eta bertan proposatzen diren problemen ebazpenari gogoz ekin diogu; interesa eta motibazioa piztu da ikasleen artean.

 

Jarraian, problemak edota enigmak doazkizue:

PROBLEMA 1   "Zenbaki segida"

Zein da hurrengo segida eratzeko erabilitako legea?

1 - 9 - 2 - 5 - 3 - 4 - 6 - 7 - 8

PROBLEMA 2   "Artzaina, aza, otsoa eta ardia"

Artzain batek ibaia zeharkatu behar du txalupa batean. Berarekin batera ardi, otso eta aza bat eraman behar ditu. Txalupa txikia da, artzaina eta beste bat baino ez dira sartzen bidaia bakoitzean (artzaina eta ardia, artzaina eta aza edo artzaina eta otsoa). Bestetik, otsoak ardia jango du artzainak bakarrik uzten baditu eta, era berean, ardiak aza artzaina aurrez aurre ez badago. Nola zeharka dezake ibaia ardiak aza jan ez dezan eta otsoak ardia?

★ Play more games like 'Wolf, Sheep and Cabbage' at FlashGameHQ... »

PROBLEMA 3   "Hiru kaxak"

Gozoki dendako arduradunak hiru kaxa jaso ditu. Kaxa batek mentazko karameloak ditu, beste batek anisezkoak eta hirugarrenak nahasketa (mentazkoak eta anisezkoak nahastuta). Kaxa bakoitzak etiketa bat du: “Mentazko karameloak”, “Anisezko karameloak” eta “Nahastutako karameloak”. Dendariak mezu bat jaso du hiru kaxak gaizki daudela etiketatuta esanez.

Gutxienez zenbat karamelo atera behar du gozo-saltzaileak kaxa bakoitzaren edukia zein den jakiteko? Azaldu.

 

El problema de los caramelos from JMS on Vimeo.

 

 

PROBLEMA 4   "Etengailuak"

Itxita dagoen gela baten barruan bonbilla bat dago eta kanpoan hiru etengailu. Etengailu batek bakarrik pizten du bonbilla.

Atea itxita dagoen bitartean, nahi duzun etengailua eta nahi beste aldiz sakatu dezakezu, baina atea zabaltzen duzunean erabaki behar duzu etengailuak ukitu gabe bonbilla zeinek pizten duen.

PROBLEMA 5   "Ordularia"

Hondarrezko bi ordulari ditugu. Batek 4 minutu irauten du eta besteak 7.

9 minutu neurtu nahi ditugu.

Nola lor dezakegu 9 minutu neurtzea bi ordulariak erabiliz?

PROBLEMA 6   "Irakaslearen alabak"

Ikasle batek matematikako irakaslearen hiru alaben adina jakin nahi zuen. Behin, problemak ebazten zihardutela, Irakasleak honela esan zion ikasleari:

-Nire hiru alaben adinen biderkadura 36 da eta batura gure ikastetxe aurrean ikusten duzun etxearen zenbakia.
- Datu bat falta zait- ikasleak erantzun zion.
- Egia da, zaharrenak pianoa jotzen du- irakasleak berriz.

Zeitzuk dira alaben adinak?

 

PROBLEMA 7   "Bi ateak"
 

Preso zauden gelatik irteteko bi ate daude. Bietatik bat askatasunaren atea da. Ate bakoitzean zaindari bana dago. Zaindari batek egia esaten du beti eta besteak gezurra; baina, ez dakizu gezurtia nor den. Galdera bakar bat egin diezaiokezu zaindari bati askatasunaren atea zein den jakiteko. Ze galdera?

PROBLEMA 8   "Adin kontua"

Ama bat bere semea baino 21 urte zaharragoa da. 6 urte barru amaren adina bost aldiz semearenarena izango da. Zertan dihardu aitak?
 

PROBLEMA 9   "Kode sekretua"

Zein da kode honek ezkutatzen duen irudia?

Ondorengo txostenean problema guztiak bilduta doaz, filmeko protagonistek emandako azalpenen bideoen loturekin batera.

Problemen txostena

 

Sigma eta Suma aldizkarietako bi artikulu interesgarri:

"El cine como recurso didáctico en el aula"

 

"Intriga y matemáticas"





**********

 

 

 



Read More

Matemagiaz Blai (I)

Gaurkoan matemagiaz jantziko dut bloga. Ikasturte  honetan DBH 3ko Matematika Tailerrerako eta Matemagiaz Blai izenburupean prestatu eta erabili ditudan hainbat truku aurkeztu eta azalduko ditut datozen lerroetan. Nahiko ezagunak dira eta erraz topa daitezke Interneten erderazko bertsioan; zailago, ordez, euskaraz aurkitzea. Aurrerago, beste sarreraren bat gai honi ere eskainiko diot. Orduan, apunteak eskuragarri utziko ditut interesa duen edozeinek erabiltzeko edota moldatzeko.

Magiari lotuta matematika ugari aurki dezakegu; matematika arina, atsegina, erakargarria eta motibagarria. Hala ere, ez da erraza ikasle guztiak "sorgintzea" matemagiaz; matematika hitza usaintzen duten bezain pronto, nolabaiteko etsipen puntua antzematen baita zenbait ikasleengan. Gero, ohiko matematikako klase baten aurrean ez daudela ikusten dutenean, erlaxatu (larregi ere batzuk) egiten dira eta klasean giro ona sortzen da. 

Matematika egiten disfruta daitekeela ardatz hartuta, truku bakoitzean matematika agerian uztea da helburu nagusia; horrela, aurkeztu eta antzeztu ondoren, azalpen matematikoaren bila abiatzen gara. Truku askoren azalpena edo oinarri matematikoa nahiko erraza da, eta pista batzuk emanda ikasleak  gai izaten dira gutxi gorabehera trukuaren nondik norakoak bakarrik aurkitzeko.

   

Kartel Magikoa
 

• Zenbakizko taula bat erakutsiko dizut.
• Taulari bizkarra emanda nagoela, aukeratu 2x2ko karratu bat eta ezkutatu lau zenbakiak karratu gorriarekin.
• Aurrera begira jarriko naiz eta berehalakoan ezkutatu dituzun lau zenbakien batura esango dizut.
• Ez al da harrigarria?  

 
Nola? Buruz ikasita taulako zenbakiak? Dohain berezi baten jabe izango ote naiz?  Aparteko aztia, agian?
Matematikaz baliatuz, egiaztatu sasiazti ziztrin bat besterik ez naizela.

Azalpena:

Memoria Itzela

• Begiratu ondoko zenbakizko taula.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta nahi duen zenbakia tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira berehala asmatuko dut zenbakia
• Hau ere harrigarria, ezta?

Azalpena:
Oraingo honetan kode ezkutua apur bat zailagoa da:

• Lehenengo zutabeari 20 dagokio, bigarrenari 30, hirugarrenari 40 eta horrela jarraian.
• Errenkada bakoitzari errenkada zenbakia dagokio: lehenengoari 1, bigarrenari 2,...
• Adibidez, laugarren errenkada eta bostgarren zutabeko zenbakiaren kodea: 4 + 60 = 64

Kodea daukagunean, eragiketa hauek egin behar dira buruz zenbakia lortzeko:

1. 64ren zifrak batu:                           6+4=10
2. 64 bikoiztu:                                      2·64=128
3. 64ren zifren arteko kenketa:        6-4=2
4. 64ren zifrak biderkatu:                  6·4=24
5. Ondorioz, zenbakia:                        10128224

Jolastu lagunekin; baina, kontuan izan ahoz zuzenean esan baino errazago dela zenbakia idaztea eragiketak buruz egiten diharduzuen bitartean (poliki joan idazten lehenengo 10, jarraian 128 ondoren 2 eta bukaeran 24). Antzerki apur bat egin, zenbakia gogoratzeko ahaleginak egiten arituko bazina bezala.

Zutabeen Magia

• Begiratu beheko zenbakizko bi koadroak.
• A koadroko zenbaki bat aukeratu.
• Aukeratu duzun zenbakia zein zutabetan dagoen esan behar didazu.
• Jarraian, begiratu B koadroko zenbatgarren zutabean dagoen zenbakia.
• Esaten badidazu B-ko zutabea, zein zenbaki aukeratu duzun esango dizut.

Nola?  Aztertu ondo nola dauden kokatuta zenbakiak bi koadroetan eta ea asmatzen duzun ezkutuko kodea (pista: saia zaitez aurkitzen A-ko zutabe bakoitza B-n).

 



Azalpena:
Oso truku erraza, ezta? Hauxe da ezkutuko kodea:
A-ko lehenengo zutabeko elementu guztiak B-ko azkeneko errenkadan kokatu ditugu edozein ordenetan (ordenak ez du garrantzirik). Era berean, bigarren zutabekoak azken aurreko errenkadan eta horrela beste guztiak.
Adibidez, demagun 49 zenbakia aukeratu duzula. A-n 4.zutabean dagoela esaten didazunean B-n azpitik hasita 4. errenkada izango dut kontuan. Ondoren, B-ko 2. zutabekoa dela esatean, zein zenbaki den jakingo dut.

Memoria Miragarria

• Arbelean ondoko zenbakizko koadroa erakutsiko dizuet.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta zenbaki bat tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira jarrita berehala asmatuko dut zenbakia.

Memoria miragarria ala kode sekretua?
Ea oraingoan kodea asmatzen duzuen (Pistak: 5 eta diagonalak)

Orain zeuen txanda. Bete ezazue zenbakiz koadro hau zuek asmaturiko kode sekretua erabiliz:

Azalpena:
Aukeratutako zenbakiaren laukitik hasita beste lau lauki diagonalean kontatu ondoren, beste zenbaki bat izango dugu. Diagonalean gora mugitzen bagara, azkeneko zenbaki hau hasierako +5 eta diagonalean behera -5 izango da. 
Adibidez, demagun bostgarren errenkadako 16 aukeratu dugula:

Loturen zerrenda

Bukatzeko, Matematika edo Matematika Tailerrerako erabilgarriak izan daitezkeen Interneteko lotura batzuk uzten ditut. Material ugari eta oso ona dago:

• Matemagia enredadora
• Matemagia
• Magia y Matemáticas
• Automagia (P. Alegía/J.C. Ruiz de Arkaute)
• Matemágicas (interactivo)
• Magia por principios (Pedro Alegía)
• El rincón matemágico
• El País Matemáticas Mágicas
• Una matemática motivadora
• Códigos secretos y Teoría de la información en la magia (P. Alegría)
• La magia de los cuadrados mágicos (P. Alegría)
• Magia y agujeros negros(P. Alegría)
• La magia desvelada (P. Alegría)
• Juegos Matemáticos de Martin Gardner (Fernando Blasco)
• Entiendo el desorden (Carlos Vinuesa del Río)

Read More

Herria eta eskola uztartuz, Hezkuntza Plazara! (Soraluze BHI)

Maiatzaren 9an "Hezkuntza Plazara!" eguna ospatu genuen Soraluzen. Egun horretan,herria eta eskola uztartuz, hezkuntza arloan lanean dihardugun  hainbat erakunde plazara atera ginen. Ekintza desberdinak antolatu ziren: hankapalo, larrugintza eta graffitti tailerrak, altxorraren bila, bost baietz, irratia, problemen ebazpena,...   

Soraluze BHI ikastetxeko Matematika Mintegian "Logika Matematikoan Trebatzen" izenburupean logikazko problema sorta prestatu genuen. Herriko zenbait taberna eta dendatan bi problema laga genituen, arkatza eta papera erabili gabe ebazteko modukoak, herritarrek joku moduan parte hartu, ebatzi eta lagun arteko eztabaidak pizteko asmoarekin; tabernak eta dendak ikasgela bihurtuz.

Partehartze handia izan zen, ia 200 problemen erantzuna jaso genituen, eta, garrantzitsuena dena, ilusioa, gogoa eta motibazioa zabaldu zen partehartzaileen artean.

Aurkezpen honetan proposatutako problemak eta bakoitzaren azalpena:

Argazkiak

Bideoa

Read More