Geometria analitikoa espazioan

BEKTORE-ESPAZIO EUKLIDEARRA
ETA ESPAZIO AFINA

Matematika II ikasgaiko epazioko geometria analitikoa (Bektoreak-Zuzenak-Planoak-Angeluak-Distantziak) lantzeko lagungarri izango delakoan hainbat azalpen bideo doazkizue jarraian. 

Bideoak bi multzotan sailkatuta daude:

• T1, T2,... ➢ Laburpen teorikoak adibideekin. Bideo hauetan jakin beharreko eduki teorikoak azaltzen dira hainbat adibidez osatuak. Proposatutako ordenean ikustea gomendatzen da.

• A1, A2,... ➢ Ariketa ebatziak pausoz pauso azalduta irudien laguntzaz. Selektibitateko ariketa batzuk ere ebazten dira.

LABURPEN TEORIKOAK ETA ADIBIDEAK

(T1) BIDERKADURA ESKALARRA	(T2) BIDERKADURA BEKTORIALA
(T3) BIDERKADURA MISTOA	(T4) ZUZENAREN EKUAZIOAK
(T5) PLANOAREN EKUAZIOAK	(T6) ZUZENAK: POSIZIO ERLATIBOAK
(T7) PLANOAK: POSIZIO ERLATIBOAK	(T8) ZUZENA-PLANOA, POSIZIO ERLATIBOAK
(T9)	(T10)

ARIKETA EBATZIAK

(A1) Lau puntu planokideak izateko baldintza	(A2) Zuzenen eta planoen ekuazioak. Zuzenen arteko posizio erlatiboa.
(A3) Zuzena eta planoa, posizio erlatiboa  parametro baten menpe	(A4) Zuzen batekiko paraleloa den zuzena
(A5) Plano batekiko paraleloa den planoa	(A6) Zuzenaren ekuazio inplizituetatik ekuazio parametrikoak.
(A7) Puntu baten puntu simetrikoa plano batekiko	(A8) Puntu baten puntu simetrikoa zuzen batekiko
(A9) Zuzena eta planoa, posizioa parametro baten menpe.	(A10) Zuzena eta planoa, posizioa parametro baten menpe.
(A11)	(A12)

Geometriako hainbat ariketa ebatziak (selektibitatea) 20: 

*****  

Read More

Triangelu aldekideko barneko zirkuluak

ABC Triangelu aldekideren azalera S da. Zentrua O puntuan duen zirkulu inskribatua marrazten da; ondoren, bi alde eta zirkulu inskribatuarekiko ukitzaile hiru zirkulu marrazten dira; jarraian, beste hiru, eta horrela entengabe irudian erakusten den bezala.

Kalkulatu S azaleraren menpe:

➤Zirkulu inskribatuaren azalera (1. fasea).

➤Bigarren fasean marraztuta dauden 4 zirkuluen azalera.

➤Zirkulu guztien azaleren batura n-ren menpe (eta S-ren menpe) n. fasean.

➤Limitean n infinitora doala zirkulu guztien azaleren batura.

Laguntza

😊 Triangelu aldekideetan inzentroa eta barizentroa puntu berean daude.

😊Barizentrotik erpinerako distantzia erdibidekoaren 2/3 (beste 1/3 aurkako aldera).

⏩EBAZPIDEA⏪

*****

Read More

Biderik laburrena

P puntutik Q puntura desplazatzeko, bide bat aukeratu behar dugu: urdina ala berdea. Urdina Ptik Qra zuzenean doan PQ zirkunferentzierdi bat da. Berdea, ordez, bost tramo ditu eta bostak zirkunferentziaerdiak dira (AB, BC, CD eta DQ).

Zein da biderik laburrena? Zergatik?

("matematicascercanas" blogean irakurritako problema)

*****

Read More

Laukizuzenen azalerak konparatzen

Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?



Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Geogebran egindako applet honek argituko dizu bidea. Mugitu P puntu gorria eta kokatu han eta hemen, hainbat lekutan, laukizuzen berdearen barnean, urdinean eta diagonalean:

Zer ikusten da? Ikusitakoaren arabera, konjetura bat proposa daiteke, zein?

http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611


Saia zaitez orain azalpena ematen; hau da, planteatu duzun konjeturaren egiaztapen geometrikoa emanez.

Jarraian azalpen posible bat,



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotuko ditugu,



Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marraztuko dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 

Azalera 1 = Azalera 1'

Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'

(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,

Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.





Oharra:  Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

*****

Read More

Orriaren zatiak

AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.

1. Zein da AB segmentuaren luzera?
2. Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
3. Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?

Hemen uzten dizut soluzio proposatua. Saia zaitez begiratu gabe ebazten, baina nahi duzunean klikatu ikusteko ea ados zauden edo bestelako ebazpideren bat proposatzen duzun.





*****

Read More

Erpinak, angelu zuzenak eta zirkunferentzia

Honako irudi honek ez du azalpenik behar, triangelu zuzenen oinarrizko propietate bat aurkezten digu. Propietate hau ez da oso ezaguna ikasleen artean, baina ikusizko froga hau bigarren hezkuntzako edozein ikaslek ulertuko luke.

Propietate honen laguntzaz, saia zaitez ondorengo egiaztapen-problema hau azaltzen.

PROBLEMA

Irudiko E puntua PT zuzenkiaren erdiko puntua da eta P, Q, R, S, T, M, N eta O erpinetako angeluak zuzenak dira. Egiaztatu badagoela P, Q, R, S, T, M, N eta O puntuetatik igarotzen den zirkunferentzia bat.

*****

Read More

Karratua laukizuzenetan zatitzen

Irudiko ABCD karratua azalera bereko 4 laukizuzenetan zatitu dugu.

PQ=3 bada, zein da ABCD karratuaren azalera?

*****

Read More

Ibilbide bitxia

Herriko parkean ibilbide berria ireki dute oinezkoentzat. Pasealeku bitxia da oso, espiral zuzenaren itxura du. P puntutik abiatuz 1 m ibili ondoren 90º biratu behar dugu beste 2 m lerro zuzenean ibiltzeko. Ondoren, berriz 90º biratuz, 3 m-ko ibilbide zuzena dugu. Jarraian, 90º biratu eta gero, aurrera 4 m. Horrela jarraituz, tramo zuzen bakoitzaren ondoren bira laurdena eginez eta aurrera lerro zuzenean aurreko zatian baino metro bat gehiago ibiliz, amaierara iritsiko gara; hau da, Q puntu batera. Ikusi irudia:

Azkeneko tramo zuzena 30 metrokoa bada:

• Zenbat tarte zuzen ditu ibilbideak? 
• Irudiaren arabera, non kokatuko da azkeneko zatia (goian-behean-eskubian-ezkerrean?  
• Ibilbidea Q puntuan amaitzen bada, zein da PQ distantzia?

*****

Read More

Kuboa zulatzen

5x5x5 dimentsioak dituzten bi kubo zulatu ditugu aurpegi batetik aurkako aurpegira doazen tunelak eraikitzeko: 

A

B

Zenbat kubo txiki kendu behar izan dira kasu bakoitzean?

*****

Read More

Orriaren azalera

Alde batetik zuria eta bestetik grisa den orria 3 aldiz tolestu dugu irudian ikusten moduan.

Orria tolesten dugun bakoitzean laukizuzen zuri bat bistan geratzen da. Laukizuzen hauen perimetroak P1 , P2 eta P3 dira.

Baldin P1 = P2 + 20 eta P2 = P3 +16 badira,

Kalkulatu hasierako orriaren azalera.

Read More

Lursailaren banaketa

Eñaut eta Leire anai-arrebek irudiko forma triangeluarra duen lursaila azalera bereko bi zatitan banatu nahi dute.

BC aldearen P puntuan dagoen putzua partekatzeko P-tik AC alderaino bi zatien muga lerro zuzenean eraikiko dute; baina asma ezinka dabiltza.
Lagunduko al diezu? Bururatzen al zaizu non kokatu behar den Q puntua AC aldean ABPQ lauki erako lursaila eta PQC lursail triangeluarra azalera berekoak izan daitezen?




Laguntza

• A puntua P puntuarekin lotu.
• BC aldearen E erdiko puntua aurkitu.
• A puntua E puntuarekin lotu.
• E puntutik doan AP zuzenkiarekiko zuzen paraleloa marraztu. Zuzen honek Q puntuan ebakitzen du AC aldea.

Bestetik, edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:

"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du, halako moldez non triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak diren"

Proipietate hau Geogebraz argi asko ikusten da. Mugitu D puntua:

Egiazta dezagun matematikoki propietate hau:

ADB eta DCB triangeluen altuera = h; orduan bakoitzaren azalera,

ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2

DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2

Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,

S'' / b2 = S' / b1 

Beraz,

S'' / S' = b2 / b1

Ea propietate hau erabiliz goiko irudiko Q puntuaren kokapena justifikatzen duzun.

Read More

Aldeak luzatuz

Irudiko ABCD laukizuzenaren aldeak luzatu ondoren, EFGH laukia eratu da:

ED=2AD, AF=3AB, BG=2BC eta CH=3CD 

Zein da ABCD eta EFGH laukien azaleren arteko arrazoia?

*****

Read More

Karratuaren zatia

Irudiko karratuaren 3/4 grisez margotu dugu. Ondoren, gelditzen den laurdenaren laurdena ere grisez. Jarraian, beste laurden bat eta horrela behin eta berriro.
Limitean, hasierako karratuaren zein zati agertuko da margotuta?

Hona hemen bi ebazpen mota, geometrikoa eta analitikoa. Baina, lehenengo saia zaitez begiratu barik.

*****

Read More

Hitzik gabeko egiaztapenak I

 

*****

Read More

Zenbakiak eta geometria

Kontatzeko erabiltzen ditugun zenbakiek nolabaiteko magia ezkutua izaten dute beren baitan, banan-banan aztertzen direnean antzematen ez dena. Gizakien modura, beraien artean erlazionatu behar izaten dira magiaren disdira  ikusgarria antzemateko.

Ezusteko deigarri ugari eskaintzen dizkigute elkarrekin aurkezten zaizkigunean. 

Ondoren datorrena, horren adibide:

Eta oraingoan, karratura berretuta dauden zenbakien arteko diferentzia 2 denean:

 
 Eta diferentzia 3 denean:

 Orokorrean, diferentzia "d" bada:

Eta bukatzeko, lehenengoarekin lotura estua duen beste hau:

Aljebraren logikak berehalako batean egiaztatzen dizkigu erlazio hauek. Baina, holako argumento logiko-aljebraikoarekin benetan ulertzen dugu zenbakizko erlazio hauek gordetzen duten magia? 

Planteamendu geometrikoek hobeto azaltzen dituzte egoera hauek, agerian uzten baitute zergatia, barneko mamia. 

Bi argumentuak, aljebraikoa eta geometrikoa, analogoak badira ere; bigarrenak, lehenengoa azaltzen du.


Bideo honetan zenbakiak eta geometria lotzen dira goian ikusitako lehenengo eta azkeneko erlazioak azaltzeko:

*****

Read More

Paradoxa Geometrikoak

 PARADOXA 1

ABC triangeluan aldeen erdiko puntuak  M, N eta P kokatu eta gero, MP eta NP zuzenkiak marraztu ditugu. MPNC laukia paralelogramo bat da; beraz, zera egiaztatzen da:

AN + NP + PM + MB = AC + CB

Ondoren, APN eta PBM triangeluekin hasierako ABC triangelua zatitu dugun moduan zatituko dugu. Prozesu bera etengabe errepikatuko dugu. Etapa bakoitzean marraztutako segmentuen luzeren batura = AC + CB.

Sortzen diren segmentu berrien luzerak gero eta txikiagoak dira eta erpinak  AB aldera hurbilduz doaz. Limitean, segmentu hauen perimetroak AB aldearekin bat egitera jotzen du. Beraz:

AC + CB = AB ??????

Posiblea al da? Zer gertatu da? Nola azaldu daiteke egoera paradoxiko hau?

 PARADOXA 2

Irudiko triangelu zuzena karratu baten erdia da, hau da, triangeluaren hipotenusa karratuaren diagonala da.

Ikusi irudiak erakusten duen prozesua, eta erantzun galderei:

Beltzez agertzen den eskailerako segmentuen batura = bi katetoen aldeen luzera.

Karratuaren diagonala aldearen bikoitza al da? Nola?

 PARADOXA3

Eta oraingo kasuan,

zirkunferentziaerdiaren luzerak diametroren luzera bera al du?

Ikusten al duzu erlaziorik hiru paradoxa hauen artean? Nola azaldu daitezke?

*****

Read More

Laukizuzenaren azalera

Irudiko laukizuzenaren AC diagonalaren gainean P eta Q puntuak aukeratu dira, halako moldez non AQ = QP = PC = 1 egiaztatzen den. AQD eta BPC triangeluak zuzenak dira.

Zein da ABCD laukizuzenaren azalera?

SOLUZIOA

*****

Read More

Laukizuzena zatitzen

AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.

1. Zein da AB segmentuaren luzera?
2. Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
3. Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?

 





Read More

Laukizuzenaren Barneko Hirukiak

Problema

ABCD laukizuzenaren AD aldea 2 cm.

FG, HI, JK eta LD segmentuak denak berdinak, 1 cm.

 

 

Zein da grisez margotutako zatiaren azalera?

Laguntza

 

Geogebraren laguntzaz argiago ikus daiteke lau hirukien azaleraren eta laukizuzenaren elementu baten arteko erlazioa:

Mugitu E puntua
 

http://tube.geogebra.org/student/m1175389

 

 

************

 

 

Read More