Paradoxa Geometrikoak

 PARADOXA 1

ABC triangeluan aldeen erdiko puntuak  M, N eta P kokatu eta gero, MP eta NP zuzenkiak marraztu ditugu. MPNC laukia paralelogramo bat da; beraz, zera egiaztatzen da:

AN + NP + PM + MB = AC + CB

Ondoren, APN eta PBM triangeluekin hasierako ABC triangelua zatitu dugun moduan zatituko dugu. Prozesu bera etengabe errepikatuko dugu. Etapa bakoitzean marraztutako segmentuen luzeren batura = AC + CB.

Sortzen diren segmentu berrien luzerak gero eta txikiagoak dira eta erpinak  AB aldera hurbilduz doaz. Limitean, segmentu hauen perimetroak AB aldearekin bat egitera jotzen du. Beraz:

AC + CB = AB ??????

Posiblea al da? Zer gertatu da? Nola azaldu daiteke egoera paradoxiko hau?

 PARADOXA 2

Irudiko triangelu zuzena karratu baten erdia da, hau da, triangeluaren hipotenusa karratuaren diagonala da.

Ikusi irudiak erakusten duen prozesua, eta erantzun galderei:

Beltzez agertzen den eskailerako segmentuen batura = bi katetoen aldeen luzera.

Karratuaren diagonala aldearen bikoitza al da? Nola?

 PARADOXA3

Eta oraingo kasuan,

zirkunferentziaerdiaren luzerak diametroren luzera bera al du?

Ikusten al duzu erlaziorik hiru paradoxa hauen artean? Nola azaldu daitezke?

*****

Read More

Txanponak, bolak eta probabilitatea

Orain probabilitateko problemak. Ez dira batere intuitiboak:


 PROBLEMA 1

Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apostua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela. 

Zer da probableagoa ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?

PROBLEMA 2
 
Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:

Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?

PROBLEMA 3

5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:

Nola egin behar da bolen banaketa? 

Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?

Read More

Zenbakiekin jolasten

Hona hemen hiru problema, olinpiadak prestatzeko erabiltzen diren modukoak. Ea aurkitzen duzun estrategia egoki bat ebazteko:


 PROBLEMA 1

1tik 10ra zenbaki guztiak idatzi ondoren, (+) ikur positiboak eta (-) negatiboak idatzi ditugu zenbakien artean.
Ba al dago ikurren konbinazioren bat eragiketak egin ondoren bukaerako emaitza 0 izan dadin?

PROBLEMA 2

1, 2, 3, 4,..., 99, 100, 101 zenbaki arrunten zerrenda ordenatua idatzi dugu arbelean. "+" eta "-" ikurrak banatuko ditugu zenbakien artean. Ondoren eragiketak egingo ditugu.
Posiblea al da azkeneko emaitza 0 izatea? 

PROBLEMA3

17 zifrako zenbaki bat idatzi dugu; zifren ordena aldatu eta gero, bigarren zenbakia lortzen da. 
Bi zenbakiok batu badira, egiaztatu batuketaren emaitzak gutxienez digitu bikoiti bat izango duela.

Read More

Galdutako zenbakiaren bila

Oraingo honetan ere, Adrián Paenzak proposatutako problematxo batekin gatoz.

Ondoko zerrendan, zenbaki bat galdu zaigu. Jarri martxan zeure detektibe sena, galdutako zenbakia ager araziko digun erlazioa aurkitzeko.

Zein da galdera ikurraren lekuan doan zenbakia?

Zergatik?

SOLUZIOA

*****

Read More

Beti irabazteko estrategia

Ondoren estrategiazko problema bat doakizue; Adrian Paenzarena da, bere dibulgazio liburuetan proposatutakoa. Ez da matematikako ezagutza berezirik behar; apur bat pentsatu, besterik ez! Adin guztientzat.

           

  

 
Mahai angeluzuzen baten inguruan eserita dauden bi lagunek txandaka txanponak mahai gainean ipiniko dituzte, mahaiko taula bete arte. Jokuaren arauak hauxek dira:

• Txanpon guztiak berdinak dira; demagun euro batekoak.
• Txanda duen lagunak txanpon bat ipiniko du mahai gainean, baina jarrita dauden txanponak zapaldu edo gainjarri gabe;bai ordea ertzak ikutuz.

• Hegaletan ipinitako txanponak ez dira zertan guztiz mahaiaren gainean egon behar, orekan badaude nahiko.

• Bere txandan, txapona jartzeko lekurik ez duena galtzailea izango da.

 
Baldintza hauek kontuan izanik, zu izango bazina lehenengo txanpona ipintzen duena, bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko, aurkariak edozer estrategia erabilita ere?

*****

Read More