Kutxak, bolak eta probabilitatea (II)

Aurreko sarrera batean ("kutxak, bolak eta probabilitatea") probabilitateko hiru problema proposatu nituen. Oraingo honetan, bertako 2. problema orokortzen saiatuko gara. J.M. Irastorzak MATEmatikaSI Webgunean aipatzen du gaurko problema, Sestaoko XV. Matematika Jardunaldi Pedagogikoetan Fernando Corbalan irakasleak proposatutakoa. Eta, nola ez?, Ni ere erakarri nau, ustekabeko emaitza gordetzen duen horietakoa baita.



Guztira bi koloretako zenbat bola sartu behar dira kutxa batean bertatik bi bola ateratzerakoan biak kolore berekoak zein kolore desberdinekoak izateko probabilitatea berbera izan dadin?

Hau da, P(biak kolore berekoak) = P(biak kolore desberdinekoak) = 1/2

Kolore bakoitzeko zenbat bola daude?





AZALPENA

Zenbaki karratuak eta triangeluarrak probabilitaterekin lotuta agertzen zaizkigu problema honetan. 

 

Read More

Baietz aurkitu 25 neska?

Gure ikastetxeko 100 ikasle (50 mutil eta 50 neska) ilaran jarri dira bata bestearen atzean. Ikasle bakoitzak zoriz aukeratu du ilaran duen lekua. 
Egiaztatu, 100 ikasleak errenkadan jartzeko dauden modu guztietan; hau da, neska-mutilen kokapena edozein izanik ere, beti aurkitu ahal izango dugula jarraian kokaturiko 50 ikasle non erdia (25) neskak diren.

Orain zure txanda da. Buruari eragin, probak egin, estrategia bat bilatu, logikaz pentsatu,... problema hau askatu. 

Read More

"Truelua"ren problema

Hiru persona A, B eta C ,pistola bana eskuan dutela, triangelu aldekide baten erpinetan daude, tiro egin eta besteak akabatzeko asmoz. Duelu moduko bat egin behar dute, baina hiruren artean, "truelu" esango diogu.



A-k asmatzen du %33, B-k %66 eta C-k %100 (ez du inoiz kalerik egiten). Txandaka egingo dute tiro eta txada bakoitzean tiro bakar bat. A hasiko da, ondoren B eta azkenik C; horrela truelua bukatu arte.
Zein da A-rentzako estrategiarik onena? Nola komeni zaio jokatzea? 

SOLUZIOA

Read More

Fibonacciren segida, zenbaki pitagorikoen sortzaile

Pitagorasen Teorema matematikaren historiako teoremarik famatuena, ezagunena, erabilena eta egiaztapen gehien onartu duena dugu zalantza barik. Gogora dezagun zer dioen:

"Triangelu zuzen guztietan, alde luzeenaren (hipotenusaren) luzeraren berbidura beste bi aldeen (katetoen) luzeren berbiduren batura da"

edo ikuspuntu geometrikotik:

"Triangelu zuzen guztietan katetoen gainean eraikitako karratuen azaleren batura eta hipotenusaren gainean marraztutako karratuaren azalera berdinak dira"

 

Teorema hau bi aldetara egiaztatzen da, hau da, aipatutako propietatea egiaztatzen duen triangelua zuzena da.

Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbakiei terna pitagorikoak deritze. Holako terna kopurua, dakigunez, infinitua da, eta grekoen garaitik ezagunak dira zenbaki hirukote hauek eskuratzeko formulak.

Baina gaurkoan Pitagorasen Teorema Fibonacciren segidaren zenbakien artean bilatu eta aurkitu egingo dugu. Ez da berehalakoan agertuko, segidako gaiak era egokian aukeratu ondoren, zenbait eragiketa egin beharra dago aurrez-aurre teorema famatua ager dadin.

Hona hemen eman beharreko pausoak:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

• Segidako ondoz ondoko edozein 4 gai aukeratu (adibidez: 3, 5, 8, 13)
• Bidertu muturretakoak:  (3·13 = 39)
• Kalkulatu erdiko bien biderkaduraren bikoitza:  (2·5·8 = 80)
• Erdiko bien karratuen batura egin:  (5² + 8² = 89)

Erraz konproba dezakegu (39, 80, 89) terna pitagorikoa dela:

39² + 80² = 89²

1, 1, 2, 3 aukeratzen baditugu, (3, 4, 5) "triangelu egipziarra" dugu eta 1, 2, 3, 5 gaiekin (5, 12, 13) "triangelu indiarra".
Saia zaitez beste batzuk aurkitzen.

Beraz, Fibonacciren segidak metodo erraz bat eskeintzen digu Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbaki hirukoteak lortzeko.

Baina, propietate hau Fibonacciren segidarena da soilik ala orokorragoa da?

Propietate hau orokorragoa da, lehenengo bi gaiak definituz, ondorengoak aurreko biren batura eginez eratzen diren segida errepikari guztiek egiaztatzen dute:

..., q, n, m, p, ...

non,

p=m+n eta q=m-n

a, b eta c aukeratuz,

a=pq=(m+n)(m-n)=m²-n²

 b=2nm

 c=n²+m²

 

Orduan,

a²+b²=
=(m²-n²)²+(2nm)²=
=(m²)²+(n²)²-2m²n²+4m²n²=
=(m²)²+(n²)²+2m²n²=
=(n²+m²)²=
= c²  

Euklidesen "Elementuak" liburu bilduman (13 liburuz osatua), X. liburuan hain zuzen ere, terna pitagorikoak eratzeko formulak agertzen zaizkigu, Fibonacciren eta, orokorrean, Fibonacciren segidaren moduko segida errepikarien barnean dauden berberak. Formula hauek osoak diren soluzio guztiak  ematen dizkigute (osoak ez diren soluzioak ere sor daitezke):

 

 

 

Read More

Fibonacci-ren segidaren gordelekua, Pascal-en triangelua.

Leonardo Pisano (Fibonacci) Pisan jaio zen 1170. urtean. Bere aita merkataria zen, hori dela eta, kontabilitatetik hurbildu zen Fibonacci matematikaren mundura. Afrikako iparraldera egindako bidaietan egun erabiltzen dugun zenbakikuntza sistema indo-arabiarra maisu musulmanengandik jaso zuen. Ondoren, Europara ekarri  eta, apurka-apurka, orduko erromatar zenbakikuntza sistema gaindituz, hedatu zen gure artean.

Baina Leonardo bada ezaguna ere bere izena edo ezizena daraman segida bategatik, "Fibonacciren segida":

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... 

Ikusten denez lehenengo bi gaiak definitzen dira a1=1 eta a2=1, eta ondorengoak aurreko biak batuz sortzen dira.

Segida honen jatorria untxien problema batekin lotuta dago:

"Untxi bikote bat ugaltzen da bikote bat sortuz hilabetero. Bikote jaioberri bakoitzak bi hilabetera ugaltzen hasten da esandako eran. Zenbat bikote izango ditugu urte bukaeran hasieran bikote jaioberri bat baldin badago?"

Blaise Pascal (1623-1662) matematikari frantsesak ezagutzaren arlo desberdinak landu zituen: matematika, fisika, filosofia, teologia,... Matematikaren munduan Fermatekin batera probabilitatearen esparruan egindako ekarpenengatik eta bere izena daraman triangeluagatik oso ezaguna da. Pascalek triangelu aritmetikoa sakon aztertu zuen eta (a+b) binomioaren potentzia desberdinen koefizienteak kakulatzeko erabili zuen.

Triangelua ondoko eran eratzen da:

• 1. errenkadan        1
• 2. errenkadan      1  1
• 3. errenkadan    1  2  1 
• 4. errenkadan  1  3  3  1
• ......................

Hau da, errenkadaz errenkada zenbaki bat eransten da, goiko bien batura dena. Triangeluaren eskuin-ezker aldeetan 1koak kokatzen dira.

Pascalen triangeluaren barruan propietate eta ezaugarri pila bat ezkutatzen dira; horien artean bat ustekabekoa: Fibonacciren segida. 

Ikusi beheko irudi hau, ez al da harrigarria?



 

Read More

Txanponen banaketaren problema

Aita batek txanpon kopuru bat banatu du bere hiru seme-alaben artean, ondoko eran:

• Lehenengoari guztiaren erdia gehi txanpon bat eman dio.
• Bigarrenari gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
• Hirugarrenari gainontzekoa; hau da, gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.

Horrela txanpon guztiak banatu ditu.

Zenbat txanpon banatu ditu guztira? Zenbat txanpon eman dizkio bakoitzari?

Eta 4 seme-alaba balira? eta 5? eta 6?....eta n? Ea orokortzen duzun.





Problema honek ebazpen aljebraikoa onartzen du, baina badago ebazpen aritmetiko-logiko bat oso erraza eta erakargarria. Ea aurkitzen duzun. Hiru esaldietako batean dago gakoa.
Beste aukera bat da probatzea kopuru desberdinekin (kantitate txikietarako egokia izan daiteke). Metodo honek problemaren egiturari buruzko informazioa ematen du eta ezinezko diren kopuruak baztertzen ere laguntzen du.

AZALPENA

Read More

Kandelen problema

Irudian agertzen diren moduko bi kandela ditugu.

Bakoitza ordu betean guztiz erretzen da. Kandelak nahi den aldetik piztu daitezke, baina ezin dira moztu, ezta markatu ere.  Baldintza hauekin ordu bat eta bi ordu neurtzea oso erraza da, baina:

Nola neur dezakegu 30 minutu? eta 15 minutu?

 

 

 

 

 

SOLUZIOA

Read More

Egiazko erantzunaren problema

Ikastetxeko ikasleek teknologia berriak trebe erabiltzen dituztela erakutsiz, matematikako irakasleak sarean gordeta zeukan azterketa lortu dute. Baina, irakaslea konturatu eta informatikarako trebetasun berezia duten lau ikasle erruduntzat hartu ditu. Lau ikasleekin hitz egin du eta honela erantzun dute irakasleak egindako galderari (A, B, C eta D moduan izendatuko ditugu ikasleak):

• A ikasleak:  "ni ez naiz izan"
• B ikasleak:  "A ikasleak gezurra esan du" 
• C ikasleak:  "B ikasleak gezurra esan du"
• D ikasleak:  "B ikaslea izan da"

Ikasleek lau esaldietatik bat bakarrik egiazkoa dela aitortu dute, eta desafioa luzatu diote irakasleari:  " zeinek esan du egia?"
Lagundu zuk irakasleari eta esan zeinek esan duen egia arrazonatuz.

SOLUZIOA

 

Read More

Labirintoaren problema

Irudian edifizio baten planoa ikus daiteke. Eraikinak 64 gela ditu, guztiak berdinak eta karratuak. Barruko gelek 4 ate dituzte, gela batetik ondoko gelara igarotzeko, eta fatxadaren ondokoek 2 edo 3 ate. Irudian ateak zuriz margotuta daude.

 

 

Hauxe da jakin nahi duguna :

 

Sarrerako gelan gaude eta irteerara iritsi nahi dugu aske geratzeko. Gela bakoitzean mezu bat dago, denera 64. Mezu guztiak jasotzen baditugu, irteerako atea zabaltzerik izango dugu. Baina, gela bakoitzetik irtendakoan gelako ateak ixtsiko dira eta ezin izango dugu berriro sartu. Hau da, derrigorrez gela guztietan sartu behar gara eta behin bakarrik.

Badago estrategiaren bat aske geratzeko? Bestela esanda, posiblea al da edifizioan sartu eta gela guztietatik behin bakarrik pasatuz irteerara iristea? Arrazonatu.

 

 

 

Ondoren, pistatxo bat emango dizut, baina, lehendabizi saia zaitez begiratu barik ebazten.

 

 

 

Laguntza: agian xake taula baten antzera margotzen baduzu planoa, errezago ikusiko duzu problema honen "irteera".

 

 

 



 

SOLUZIOA 

Read More

Galtzetinen problema

Goizeko bostak dira, berandu iratzarri zara eta argi barik zaude ilunpean. Presaka armairura hurbildu zara galtzetinak hartzera. Armairuko kajoian 20 galtzetin dituzu berdin berdinak kolorea ezik; 10 dira gorriak eta beste 10 beltzak.  
Zein da hartu behar duzun galtzetin kopuru minimoa bi gutxienez kolore berekoak direla ziurtatzeko?

SOLUZIOA

Read More