Zenbaki lehenen multzoak ez du maximorik

Zenbaki lehenen multzoa infinitua al da? Bestela esanda, zenbaki lehenen multzoak maximorik al du?

Euclides matematikari greziarrak zenbaki lehenen multzoak ez zuela maximorik egiaztatu zuen; hau da, infinitua zela. Eskaini zigun egiaztapena dotorea da oso, harri bitxi bat.

Honako prozedura hau jarraitu zuen:

Demagun zenbaki lehen maximoa p badagoela,

            2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., p

zenbaki lehenen zerrenda da, p zenbaki lehen guztien artean handiena izanik.

Zerrendako zenbaki guztien biderkadurari unitate bat batuz, N zenbakia izango dugu:

                N = 2·3·5·7·11· ... ·p + 1

N zenbakia zati 2 eginez:

(2·3·5·7·11· ... ·p + 1)/2 = 3·5·7·11· ... ·p + 1/2

Hau da, N ez da 2gatik zatigarria.

Era berean egiazta daiteke N ez dela,

                3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., p

zenbakien multiploa.

Hau dela eta, N zenbakia lehena da edo, lehena ez bada, zerrendan ez dagoen eta zerrendako zenbakiak baino handiagoa den zenbaki lehen bategatik zatigarria da nahitaez. 

Kasu batean zein bestean, p baino handiagoa den zenbaki lehen bat aurkitu dugu. Hau hasieran egindako suposizioaren aurka doa. 

Ondorioz, zenbaki lehenen multzoak ez du maximorik, infinitua da.

Évariste Galois matematikari gazteak esaten zuenez, zenbaki lehenen tauletan ez dago ordenarik, ezta auraurik ere.

Honako bideo honetan, zenbaki lehenak menderatu nahian edo, Eratostenesen bahea egiteko forma bitxia aurkezten da:
 

*****