PROBLEMA 4 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 4 (2018ko EPEa)

Edozein n zenbaki arruntarentzat An=2ⁿ+A²ⁿ+A³ⁿ definitzen da.   i. Frogatu n-ren balio guztientzat An+3 kongruente An ,       moduluz 7 dela.   ii. Aurkitu n-ren zein balioarentzat An 7 zenbakiaz       zatigarria den (erabili aurreko emaitza).

Gogora dezagun nola definitzen den Zenbaki-Teorian m modulodun (m∈𝐙, m≥1) kongruentzia:

a eta b bi zenbaki oso m moduluz kongruenteak dira, a≡b (mod. m), m modulua a-b diferentziaren zatitzailea bada, a-b=km k∈𝐙. Bestela esanda, m moduluaz zatituz hondar berdina ematen dutenean: a=k₁·m+r, b=k₂·m+r  eta  0≤r≤m-1

1.Atala

Emandako adierazpena, honela ere adieraz daiteke:

An+3 kongruente An, moduluz 7 da, baldin bien arteko diferentzia 7ren multiploa bada; hau da,

Hortaz,  edozein n arruntarentzat  An+3≡An (mod. 7)

Beste era honetan ere arrazoitu daiteke:

2-ren berreketen kongruentziak (7 moduluz) koadro honetan laburtuz,

Non kongruentzien propietateak erabili diren,

Bestetik, gogoratu m moduludun aritmetikan, a zenbaki osoak alderantzizkoa du baldin eta bakarrik soilik zkh(a,m)=1 bada.
     Orduan, a·b≡1 bada, a⁻¹=b eta b⁻¹=a 

Propietate hau honela aplikatu da,

2·4=8≡1 (mod. 7) denez, 2ren alderantzizkoa 2⁻¹=4 eta 4ren alderantzizkoa 4⁻¹=2

Azkenik, taulako azkenengo errenkadatik, honako ondoriora iristen gara:

An+3-An ≡0-0=0 (mod. 7) edo An+3-An ≡3-3=0 (mod. 7)


2.Atala

Aurreko ataletik zera ondorioztatu daiteke, An 7 zenbakiaz zatigarria da baldin n ez bada 3ren multiploa:

    An 7az zatigarria, baldin n≠3k non k∈𝐍

Edo, kongruentzien hizkuntza erabiliz, gauza bera dena:

     An 7az zatigarria, baldin n≡1 edo n≡2 (mod. 3)

*****