PROBLEMA 3 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 3 (2018ko EPEa)

ABC triangelu zorrotz baten altuerak H ortozentroan ebakitzen dira. Badakigu AB=CH dela. Zehaztu ∡BCA angeluaren balioa.

Triangelu zorrotza denez, atuerak triangeluaren barnealdean ebakitzen dira H ortozentroan. Honela, triangelua binaka antzekoak diren 6 triangelu zuzenetan banatuta geratzen da.

H erpinean, erpinez aurkako angeluak berdinak dituzten triangeluak antzekoak dira:

Metodo 1

CHA' eta ABC' triangelu zuzenetan oinarrizko erlazio trigonometrikoak aplikatuz:

   ➤CHA' triangeluan HA'=c·sin𝝰
   ➤ABA' triangeluan BA'=c·sin𝝰

Hemendik, BHA' triangelu zuzen isoszelea da (eta baita bere antzekoa den AHB' ere). Beraz, triangelu hauen angelu zorrotzak 𝞬=45ºkoak dira.


CAA' triangelu zuzenean (edo CBB' triangeluan), angelu zorrotzen batura 90º da:

(𝞪+𝞫)+𝞬=90º

𝞪+𝞫+45º=90º

𝞪+𝞫=45º

∡C=45º

 CAA' eta CBB' triangeluak ere zuzen isoszeleak dira.

Metodo 2

Beste era honetan ere ebatz dezakegu:

CHB' eta ABB' triangeluak kongruenteak dira , bi angelu eta bi angeluen arteko aldea berdinak direlako:

  ▷CH=AB=c hipotenusak luzera berekoak

  ▷𝞫 angelu zorrotza berdina 

  ▷Triangelu zuzenak direnez, baita beste angelu zorrotza

    ere berdina.

Ondorioz, BB'=B'C⇒CBB' triangelu zuzen isoszelea:

     tan(𝞪+𝞫)=tan(⦛C)=BB'/B'C=1⇒⦛C=45º

*****