Zati berdinetan banatzen (I)

Irudian duzun laukia karratua da. Bertan 12 fitxa gorri ageri dira:

Ondoko hau proposatzen dizuet:

Banatu karratua lau zati berdinetan baldintza txiki bat egiaztatuz; zati bakoitzean 3 fitxa gorri (oso osorik) agertu behar dira.

SOLUZIOA

 

 

 

Read More

Triangelu gainjarrien problema

Bi triangelu ekilatero berdin, A1B1C1 (gorria) eta A2B2C2  (berdea), gainjartzen dira aldeak paraleloak izanik. Bien artean MNOPQR hexagonoa sortzen da (irudian urdinez):

Triangelu aldekideen aldea 6 cm-koa bada, zein izango da hexagonoaren perimetroa? Ba al dago erlazioren bat hirukien perimetroaren eta hexagonarenaren artean?

Erabili Geogebrako appleta probak egiteko eta egoera bisualizatu ahal izateko. A eta B puntuak mugituz aldatu hirukien posizioak eta irristailuaz aldeen luzera.
Ondoren, saia zaitez azalpen bat ematen. 


http://ggbtu.be/m718889




Azalpentxo bat
Irudian ikus daitekenez, hiruki aldekide berdea gorriaren gainean jartzerakoan barnealdeko azalera komunak hexagono bat  eratzen du.
Kanpokaldean sei triangelu aldekide agertzen zaizkigu eta aurkakoak kongruenteak dira: 

MN = MC1  eta RQ = RB1

MN+MR+RQ = C1B1 = "b" aldea

Hau da, hexagonoaren perimetro erdia hasierako triangeluen aldearen berdina da.  Beraz, hexagonoaren perimetroa aldearen bikoitza da edo perimetroaren bi herena:

PHexagonoa = 2·b = 2·P/3 = 12 cm

*****

Read More

Matemagiaz Blai (I)

Gaurkoan matemagiaz jantziko dut bloga. Ikasturte  honetan DBH 3ko Matematika Tailerrerako eta Matemagiaz Blai izenburupean prestatu eta erabili ditudan hainbat truku aurkeztu eta azalduko ditut datozen lerroetan. Nahiko ezagunak dira eta erraz topa daitezke Interneten erderazko bertsioan; zailago, ordez, euskaraz aurkitzea. Aurrerago, beste sarreraren bat gai honi ere eskainiko diot. Orduan, apunteak eskuragarri utziko ditut interesa duen edozeinek erabiltzeko edota moldatzeko.

Magiari lotuta matematika ugari aurki dezakegu; matematika arina, atsegina, erakargarria eta motibagarria. Hala ere, ez da erraza ikasle guztiak "sorgintzea" matemagiaz; matematika hitza usaintzen duten bezain pronto, nolabaiteko etsipen puntua antzematen baita zenbait ikasleengan. Gero, ohiko matematikako klase baten aurrean ez daudela ikusten dutenean, erlaxatu (larregi ere batzuk) egiten dira eta klasean giro ona sortzen da. 

Matematika egiten disfruta daitekeela ardatz hartuta, truku bakoitzean matematika agerian uztea da helburu nagusia; horrela, aurkeztu eta antzeztu ondoren, azalpen matematikoaren bila abiatzen gara. Truku askoren azalpena edo oinarri matematikoa nahiko erraza da, eta pista batzuk emanda ikasleak  gai izaten dira gutxi gorabehera trukuaren nondik norakoak bakarrik aurkitzeko.

   

Kartel Magikoa
 

• Zenbakizko taula bat erakutsiko dizut.
• Taulari bizkarra emanda nagoela, aukeratu 2x2ko karratu bat eta ezkutatu lau zenbakiak karratu gorriarekin.
• Aurrera begira jarriko naiz eta berehalakoan ezkutatu dituzun lau zenbakien batura esango dizut.
• Ez al da harrigarria?  

 
Nola? Buruz ikasita taulako zenbakiak? Dohain berezi baten jabe izango ote naiz?  Aparteko aztia, agian?
Matematikaz baliatuz, egiaztatu sasiazti ziztrin bat besterik ez naizela.

Azalpena:

Memoria Itzela

• Begiratu ondoko zenbakizko taula.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta nahi duen zenbakia tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira berehala asmatuko dut zenbakia
• Hau ere harrigarria, ezta?

Azalpena:
Oraingo honetan kode ezkutua apur bat zailagoa da:

• Lehenengo zutabeari 20 dagokio, bigarrenari 30, hirugarrenari 40 eta horrela jarraian.
• Errenkada bakoitzari errenkada zenbakia dagokio: lehenengoari 1, bigarrenari 2,...
• Adibidez, laugarren errenkada eta bostgarren zutabeko zenbakiaren kodea: 4 + 60 = 64

Kodea daukagunean, eragiketa hauek egin behar dira buruz zenbakia lortzeko:

1. 64ren zifrak batu:                           6+4=10
2. 64 bikoiztu:                                      2·64=128
3. 64ren zifren arteko kenketa:        6-4=2
4. 64ren zifrak biderkatu:                  6·4=24
5. Ondorioz, zenbakia:                        10128224

Jolastu lagunekin; baina, kontuan izan ahoz zuzenean esan baino errazago dela zenbakia idaztea eragiketak buruz egiten diharduzuen bitartean (poliki joan idazten lehenengo 10, jarraian 128 ondoren 2 eta bukaeran 24). Antzerki apur bat egin, zenbakia gogoratzeko ahaleginak egiten arituko bazina bezala.

Zutabeen Magia

• Begiratu beheko zenbakizko bi koadroak.
• A koadroko zenbaki bat aukeratu.
• Aukeratu duzun zenbakia zein zutabetan dagoen esan behar didazu.
• Jarraian, begiratu B koadroko zenbatgarren zutabean dagoen zenbakia.
• Esaten badidazu B-ko zutabea, zein zenbaki aukeratu duzun esango dizut.

Nola?  Aztertu ondo nola dauden kokatuta zenbakiak bi koadroetan eta ea asmatzen duzun ezkutuko kodea (pista: saia zaitez aurkitzen A-ko zutabe bakoitza B-n).

 



Azalpena:
Oso truku erraza, ezta? Hauxe da ezkutuko kodea:
A-ko lehenengo zutabeko elementu guztiak B-ko azkeneko errenkadan kokatu ditugu edozein ordenetan (ordenak ez du garrantzirik). Era berean, bigarren zutabekoak azken aurreko errenkadan eta horrela beste guztiak.
Adibidez, demagun 49 zenbakia aukeratu duzula. A-n 4.zutabean dagoela esaten didazunean B-n azpitik hasita 4. errenkada izango dut kontuan. Ondoren, B-ko 2. zutabekoa dela esatean, zein zenbaki den jakingo dut.

Memoria Miragarria

• Arbelean ondoko zenbakizko koadroa erakutsiko dizuet.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta zenbaki bat tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira jarrita berehala asmatuko dut zenbakia.

Memoria miragarria ala kode sekretua?
Ea oraingoan kodea asmatzen duzuen (Pistak: 5 eta diagonalak)

Orain zeuen txanda. Bete ezazue zenbakiz koadro hau zuek asmaturiko kode sekretua erabiliz:

Azalpena:
Aukeratutako zenbakiaren laukitik hasita beste lau lauki diagonalean kontatu ondoren, beste zenbaki bat izango dugu. Diagonalean gora mugitzen bagara, azkeneko zenbaki hau hasierako +5 eta diagonalean behera -5 izango da. 
Adibidez, demagun bostgarren errenkadako 16 aukeratu dugula:

Loturen zerrenda

Bukatzeko, Matematika edo Matematika Tailerrerako erabilgarriak izan daitezkeen Interneteko lotura batzuk uzten ditut. Material ugari eta oso ona dago:

• Matemagia enredadora
• Matemagia
• Magia y Matemáticas
• Automagia (P. Alegía/J.C. Ruiz de Arkaute)
• Matemágicas (interactivo)
• Magia por principios (Pedro Alegía)
• El rincón matemágico
• El País Matemáticas Mágicas
• Una matemática motivadora
• Códigos secretos y Teoría de la información en la magia (P. Alegría)
• La magia de los cuadrados mágicos (P. Alegría)
• Magia y agujeros negros(P. Alegría)
• La magia desvelada (P. Alegría)
• Juegos Matemáticos de Martin Gardner (Fernando Blasco)
• Entiendo el desorden (Carlos Vinuesa del Río)

Read More

Thalesen Teoremaren egiaztapen bat

Thales Miletokoa Antzinako Greziako filosofo eta matematikari ospetsua dugu, Greziako zazpi jakintsuetako bat da,  baina, paradogikoki, ezer gutxi dakigu bere bizitzari eta lanei buruz. K. A. 585. urteko eklipsea gertatu zenean Thalesek 40 bat urte zituela pentsatzen da; data hau erreferentzia moduan hartuta bere jaiotze- eta heriotza-datak kalkulatu dira.

Egiaztapenetan oinarritutako matematikari edo matematika deduktiboari hasiera eman zion lehena izan zen Thales. Bere ustez, baieztapen geometrikoak ezin ziren intuizio hutsez onartu , prozesu zehatz eta logiko baten ondorioz baizik. Thalesen egiaztapenak gure eskuetara iritsi ez badira ere, esandakoaren lekuko ondorengo teoremak ditugu (Thalesen teoremak):

• Zirkunferentzierdi batean inskribaturiko angelua zuzena da.
• Diametroak bi zati bertinetan banatzen du zirkulua.
• Triangelu isoszele baten oinarriko angeluak berdinak dira (oinarria desberdina den aldea izanik).
• Erpinez aurkako angeluak berdinak dira.
• Triangelu batean alde batekiko paraleloa den edozein zuzen marrazten bada, antzekoak diren bi triangelu lortzen dira.   

Teorema hauek ikasleen artean nahiko ezagunak badira ere, ez da horren ezaguna egilea edo egiletzat Thales hartzen dugula.

Azkeneko teoremaren aldaera bat edo ondorio bat da, gaur hemen enuntziatu eta egiaztatuko duguna. 

Thalesen Teorema

"Planoko edozein bi zuzen (r eta s) beren artean paraleloak diren zuzenen bidez ebakitzerakoan,  r eta s zuzenetan agertzen diren segmentu korrespondenteen luzerak proportzionalak dira".

Hau da:

Egiaztapena

Thalesen Teoremaren egiaztapena azaleraren kontzeptuan oinarrituko dugu; beraz, kontzeptu hau axiomatikoki definitutzat emango dugu.

Egiaztapenarekin hasi baino lehen beharrezkoak izango diren ondorengo bi emaitzak gogoratu behar ditugu,

1.- Oinarri eta altuera bereko triangeluek azalera berbera dute:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/128777

2.- Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/135144

ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2

DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2

Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,

S'' / b2 = S' / b1 

Beraz,

S'' / S' = b2 / b1

Azkenik, hona hemen egiaztapenaren appleta:

http://tube.geogebra.org/material/show/id/135402

(Mikel Retegiren laguntzarekin egindako appletak. Mila esker)

Read More

Problema Geometrikoen Ebazpena (Azalerak)

Azaleren kalkuluan formulen aplikazio hutsa ez da beti biderik errezena eta laburrena izaten, ezta egokiena ere zenbait kasutan. Problema zatitzea eta zatiak konparatzea moduko teknikak eguneroko bizitza arruntean erabiltzen ditugu, eta oso estrategia lagungarriak dira hainbat objekturen azalera kalkulatu behar dugunean.

Ondoren datozen jardueretan horixe egin beharko duzu, problema zatitu, zatiak konparatu eta berriz konposatu, eskatzen diren azalerak modu erraz batean kalkula ahal izateko.

Sakatu loturan edo irudiaren gainean:
.

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nz5pgs5w8le0

 

 

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nz5pi7ny8le0

 

 

 

Goian proposaturiko problemak olinpiada matematikoetan azaldutakoak dira:

• Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton" (problemas)
• Euskadiko Olimpiada Matematikoa "Eduardo Chillida" (problemak)

 

Read More

Laukizuzenak konparatzen

 

Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?



 

Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Laguntza moduan, hona hemen Mikel Retegik geogebran egindako appleta (mugitu P puntu gorria):

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611

Geogebraren laguntzaz erraz ikus dezakegu problema honen soluzioa. Bisualizazioak argitu egiten digu bidea eta problemaren azalpenaren ateak zabaltzen dizkigu.

Saia zaitez orain azalpena edo egiaztapen geometrikoa ematen, ondoren datorrena irakurri baino lehen.



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotzen ditugu:

 



Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marrazten dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

 

Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 

 

 

Azalera 1 = Azalera 1'

Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'

 

(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,

 

Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

 

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.



Oharra: Tito Eliatron Dixit blogean irakurri dut problema hau, baina,  Jose Antoniok aipatzen duen moduan, Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

Read More

Kutxak, bolak eta Simpson-en paradoja

 

Simpsonen paradojaren adibide bitxia ikusiko dugu gaurkoan.

Irudian hiru egoera agertzen zaizkigu, eta egoera bakoitzean gure helburua bola gorria ateratzeko probabilitatea optimizatzea da. Nola jokatu behar dugu bola gorria ateratzeko probabilitate ahalik eta handiena izateko?  Kutxa urdina aukeratu behar dugu hiru kasuotan?

Azter dezagun banan-banan:

1.EGOERA

Lehenengo egoeran A kutxan (urdina) 7 bola ditugu eta horietatik 3 gorriak dira; beraz, bola gorri bat ateratzeko probabilitatea 3/7=15/35. Bestetik,  B kutxan (berdea) 5 boletatik 2 gorriak direnez, gorria ateratzeko probabilitatea 2/5=14/35 izango da. Beraz,  kutxa urdina komeni zaigu aukeratzea, gorria ateratzeko probabilitatea handiagoa baita.

2.EGOERA:

 

  

Era berean, bigarren kasu honetan ere  kutxa urdina (A') aukeratzen bada  bola gorria lortzeko probabilitatea handiagoa da 4/6=2/3=22/33. B' kutxan (berdea), ordea, 7/11=21/33.

3.EGOERA:

 

Hirugarren egoeran, kutxak nahastu ditugu: A + A' (13 bola denera = 7 gorri + 6 zuri) eta B + B' (16 bola denera = 9 gorri + 7zuri) . Baina, uste izaten denaren aurka, oraingo honetan aldatzea komeni da, B + B' kutxa (berdea) aukeratzen badugu gorria lortzeko probabilitatea hobetzen baita ( 7/13 txikiagoa da 9/16 baino).

Geogebrako applet honetan, kutxa bakoitzaren osaera aukeratu ondoren,  grafikoki azter ditzakegu  probabilitateak eta zein kasuetan ematen den Simpsonen paradoja zehaztu. X ardatzean bola kopurua guztira eta Y ardatzean gorrien kopurua adierazita daudenez, zuzen bakoitzaren maldak kutxa bakoitzetik (A, A', B eta B') eta kutxen elkarketatik (A+A' eta B+B') bola gorria ateratzeko probabilitatea ematen digu. Zuzenkiak planoko bektoreak balira moduan ere har ditzakegu, non malda=Vy/Vx= P(gorria) den.

Klikatu irudiaren gainean:



Gertaera paradogiko hau Colin R. Blyth-ek aurkitu zuen 1951. urtean E. H. Simpsonen artikulu bat irakurtzean, eta "Simpsonen paradoja" moduan izendatu zuen.

Paradoja honen beste adibide batzuk:

http://eginmatematika.blogspot.com.es/2014/01/simpson-en-paradoja-portzentaje.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Simpson

http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/S71.pdf 

 

Read More

Ekuazio Sistemak 3 (DBH 3)

Ekuazio sistema linealen azkeneko azterketa interaktiboa beheko loturan duzue (klikatu irudiaren gainean):

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nw5mpe8z8le1

 

Read More

Herria eta eskola uztartuz, Hezkuntza Plazara! (Soraluze BHI)

Maiatzaren 9an "Hezkuntza Plazara!" eguna ospatu genuen Soraluzen. Egun horretan,herria eta eskola uztartuz, hezkuntza arloan lanean dihardugun  hainbat erakunde plazara atera ginen. Ekintza desberdinak antolatu ziren: hankapalo, larrugintza eta graffitti tailerrak, altxorraren bila, bost baietz, irratia, problemen ebazpena,...   

Soraluze BHI ikastetxeko Matematika Mintegian "Logika Matematikoan Trebatzen" izenburupean logikazko problema sorta prestatu genuen. Herriko zenbait taberna eta dendatan bi problema laga genituen, arkatza eta papera erabili gabe ebazteko modukoak, herritarrek joku moduan parte hartu, ebatzi eta lagun arteko eztabaidak pizteko asmoarekin; tabernak eta dendak ikasgela bihurtuz.

Partehartze handia izan zen, ia 200 problemen erantzuna jaso genituen, eta, garrantzitsuena dena, ilusioa, gogoa eta motibazioa zabaldu zen partehartzaileen artean.

Aurkezpen honetan proposatutako problemak eta bakoitzaren azalpena:

Argazkiak

Bideoa

Read More

Ekuazio-Sistemak (DBH 3)

Hona hemen ekuazio-sistemen azterketa eredua, klikatu irudian eta praktikatu:

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?ny5isalx8lef

Ekuazio-sistemak ebazteko ordezkatze, berdinketa eta laburketa metodoen adibide bana:

Metodo grafikoa

Read More