Zenbaki lehenen karratuak

Hiru baino handiagoak diren zenbaki lehenen karratuak, 12ren multiploa gehi unitate bat direla diote.

Egia ote? Nola egiazta daiteke?

EGIAZTAPENA (2)

*****

*****

Read More

Triangeluak eta probabilitatea

Zoriz 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki erreal positibo x eta y aukeratu ditugu.

Zein da x, y eta 1 luzerako zuzenkiak erabiliz triangelu kamutsa eraiki ahal izateko izango dugun probabilitatea?

SOLUZIOA ETA EBAZPIDEA (1)

*****

Read More

OPE-2012 eta 2016-EPE Proba praktikoa

PROBA PRAKTIKOA 2016

2016ko oposizioetan jarritako proba praktikoaren problema ebatziak doazkizue. Nire ebazpen proposamena da, besterik ez. 1. problema hainbat modutan ebatz daiteke, 3. problema (probabilitate problema) galderekin osatu dut, problema anplifikatu edo osatzeko asmoz eta geometriako problema blog honetan bertan argitaratuta aurkituko duzue helbide honetan: 

http://eginmatematika.blogspot.com.es/2015/04/triangeluen-azalerak-konparatzen.html

2016ko proba prakrikoa jarraian:

   https://app.box.com/s/84xvr22utqqj4pzjeq7ujwe2q63w8044

PROBA PRAKTIKOA 2012

2012ko probatakoak loturetan sakatuz gero ikusgai izango dituzue (hauek ere ebatzita):

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5

Ariketa eta problema osagarriak (probabilitate geometrikoa eta indukzio metodoa):

PROBLEMA GEHIAGO

Indukzio metodoari buruzko artikulua:

http://eginmatematika.blogspot.com.es/2016/01/indukzio-matematikoaren-inguruan.html

HIRU ZIRKUNFERENTZIEN PROBLEMA

r erradioko C1, C2 eta C3 hiru zirkunferentzien zentroak P1=(0,0), P2=(2r,0) eta P3=(4r,0) puntuak dira hurrenez hurren. P(x,0) puntutik C1 lehenengo zirkunferentziarekiko tangentea den zuzena marrazten da, x zenbaki erreal positiboa 5r baino handiagoa izanik. Kalkulatu C2 eta C3 zirkunferentzien barneko zuzen horren zuzenkien luzera.

Problema honen gakoa zirkunferentzien oinarrizko propietate bat da (esan beharra dago propietate hau ez dagoela oso zabalduta, edo hobeto esanda, sarri askotan ez gara akordatzen edo ez dugu izaten berehalakoan eskuragarri gogoan).

Propietatea honela enuntzia daiteke: 

Zirkunferentzia batean edozein sokaren erdibitzailea zirkunferentziaren zentrotik igarotzen da. Soka batekiko zuzen tangenteak marrazten baditugu, limitean bi ebaki puntuak puntu bakarrean elkartzean, zuzen ebakitzailea zuzen tangentea da eta, dakigunez, zuzen ukitzailea erradioarekiko perpendikularra da.

Bestela, zirkunferentzia bateko edozein soka, alde berdinak erradioak dituen triangelu isoszeles baten alde desberdina da. Oinarri honi dagokion altuera eta erdibidekoa (mediana) berdinak dira.

Bideo honean Jose Manuel Lopez Irastorzak maisuki azaltzen digu problema honen soluzioa:

Funtsean berdina den beste ebazpide bat r eta x-ren menpe:

*****

Read More

Paradoxen festa

PARADOXA 1: "Segmentuaren desagerpena"

Irudiko laukizuzenaren barruan hamar segmentu bertikal marraztu dira. Diagonal bat jarraituz, laukizuzena bi triangelutan banatu da:

Odoren, bi triangeluak desplazatu dira, hurrengo irudian ikusten moduan:

Zenbatu barneko segmentuak. Hasieran 10 segmentu zeuden eta orain bakarrik 9.

Nola? Zer gertatu da falta den segmentuarekin? Non dago?




PARADOXA 2:  "%1 bakarrik?"

10 Kg-ko sandia fresko baten %99 ura da. Bi zatitan ebaki eta eguzkitan utzi dugu sikatzen. Denbora tarte bat igaro eta gero sandiaren ur proportzioa %98 bada, zein da une honetan sandiaren pisua?

PARADOXA 3:  "Batazbesteko abiadura"

Oñatiko plazatik Arantzazuraino 10 Km daude. Bizikletan egin dugu igoera, batazbeste 10 Km/h abiaduraz. Ibilbide osoko batazbesteko abiadura 25 Km/h izan dadin, zein abiaduraz jaitsi behar dugu?

PARADOXA 4:  "50 €rekin aberats"

 5 euro = 665    JPY (Yen japoniarra)

10 euro = 1.330 JPY (Yen japoniarra)

Beraz, berdintza honen bi aldeak biderkatuz:

50 euro = 884.450 JPY

Nola???

Japoniara bizitzera komeni zaigu?

PARADOXA 5:  "3 = 5?"

Egia izango ote?  3= 5?

Non dago akatsa? Arrazoitu.

PARADOXA 6:  "1 = -1?"

Behatu ondorengo berdintzak:

Ze pauso ez da zuzena? Zergatik?

PARADOXA 7:  "erro karratuaren paradoxa"

Nola definitzen da handiago edo berdin zero den zenbaki erreal baten erro karratua?

PARADOXA 8:  "Deribatuaren paradoxa"

Non dago akatsa?






*****

Read More

Biderik laburrena

P puntutik Q puntura desplazatzeko, bide bat aukeratu behar dugu: urdina ala berdea. Urdina Ptik Qra zuzenean doan PQ zirkunferentzierdi bat da. Berdea, ordez, bost tramo ditu eta bostak zirkunferentziaerdiak dira (AB, BC, CD eta DQ).

Zein da biderik laburrena? Zergatik?

("matematicascercanas" blogean irakurritako problema)

*****

Read More

Estrategiazko jokoa: zenbakiak ezabatzen.

Lehenengo 400 zenbaki arruntak idatzi ditut arbelean. Ondoren, binaka jolasteko estrategiazko joko bat proposatu diet ikasleei. Bikotean, bat Eneko izango da eta bestea Maialen.

Hauxe da jokoaren azalpena:

1, 2, 3, ··· 198, 199, 200, 201, 202, ··· 398, 399, 400

Aurrena Enekok 100 zenbaki aukeratu eta ezabatu behar ditu. Ondoren, Maialenek beste 100 zenbaki ezabatuko ditu. Baldin ezabatutako 200 zenbakien batura ezabatu gabeko 100 zenbakien baturaren berdina bada, Maialenek irabaziko du jokoa; bestela, Eneko izango da txapelduna.

Bietatik, zeinek dauka estrategia irabazlea? Azaldu.

Eta Enekok 101 zenbaki ezabatzen baditu eta Maialenek 99? Zeinek dauka orain estrategia irabazlea?

*****

Read More

Biderkadura erraza I

Orixe ikastetxeko matematikako irakasleak hainbat truku ezagutzen ditu biderkadurak buruz egiteko. Eguneroko bizitza arruntean duen garrantziaz konturatuta, buruzko kalkulua azkar egiteko estrategiak garatu beharra dagoela uste izan du beti, konpetentzia numerikoa delakoa eta zenbakiekin trebetasuna eskuratzeko baliabide ezin hobea baita.

Gaur goizean ikasgelan sartzeaz bat hainbat biderkaketa idatzi ditu arbelean; ondoren, emaitzak buruz kalkulatu ditu instant batean:

43·47=2021;  61·69=4209;  38·32=1216;  75·75=5625;  23·27=621;....

Honela galdetu die ikaslei:

Biderkagaiak bi zifrako zenbakiak dira, baina ez edozein. Jarri zeuen arreta, alde batetik zenbakien hamarrekoen zifran eta bestetik, batekoen zifran. Zer ikusten da argi eta garbi?

Ikasleek berehala antzeman dute hamarrekoen zifra berdina eta batekoen batura 10 dela. Hala da, bi baldintza hauek egiaztatzen direnean balio du soilik metodo honek.

Emaitzari begira, erlazionatu honen azkeneko bi zifrak bidertutako zenbakien batekoen zifrekin eta lehenengo biak (batzuetan zifra hau bakarra izango da) zenbakien hamarrekoen zifrarekin. Zer erlazio dago?

Erlazioa hau aurkitzea ez zaie asko kosta:

Baina, matematikan sakontzea nahi izaten dugu, "zergatik?" galderari erantzutea nahi izaten dugu.

Zergatik funtzionatzen du metodo honek? Nola egiazta daiteke? Animatzen zara egiaztepena egitera? Oinarrizko aljebra aplikatu, eta listo!

(Gogoratu: ab = 10a + b  eta  ba = 10b + a)

Read More

Laukizuzenen azalerak konparatzen

Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?



Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Geogebran egindako applet honek argituko dizu bidea. Mugitu P puntu gorria eta kokatu han eta hemen, hainbat lekutan, laukizuzen berdearen barnean, urdinean eta diagonalean:

Zer ikusten da? Ikusitakoaren arabera, konjetura bat proposa daiteke, zein?

http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611


Saia zaitez orain azalpena ematen; hau da, planteatu duzun konjeturaren egiaztapen geometrikoa emanez.

Jarraian azalpen posible bat,



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotuko ditugu,



Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marraztuko dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 

Azalera 1 = Azalera 1'

Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'

(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,

Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.





Oharra:  Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

*****

Read More

Orriaren zatiak

AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.

1. Zein da AB segmentuaren luzera?
2. Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
3. Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?

Hemen uzten dizut soluzio proposatua. Saia zaitez begiratu gabe ebazten, baina nahi duzunean klikatu ikusteko ea ados zauden edo bestelako ebazpideren bat proposatzen duzun.





*****

Read More

Erpinak, angelu zuzenak eta zirkunferentzia

Honako irudi honek ez du azalpenik behar, triangelu zuzenen oinarrizko propietate bat aurkezten digu. Propietate hau ez da oso ezaguna ikasleen artean, baina ikusizko froga hau bigarren hezkuntzako edozein ikaslek ulertuko luke.

Propietate honen laguntzaz, saia zaitez ondorengo egiaztapen-problema hau azaltzen.

PROBLEMA

Irudiko E puntua PT zuzenkiaren erdiko puntua da eta P, Q, R, S, T, M, N eta O erpinetako angeluak zuzenak dira. Egiaztatu badagoela P, Q, R, S, T, M, N eta O puntuetatik igarotzen den zirkunferentzia bat.

*****

Read More