Joseph Bertrand (1822-1900) matematikari frantziarrak "Calcul des probabilités" liburuan "Bertrand-en kutxaren paradoxa" izenarekin ezaguna den probabiliate problema proposatun zuen.
Problema honen aldaera ugari daude, baina guztietan sortzen den paradoxak jatorri bera du: gertaeren independentzia eta gertaera baldintzatuak bereizteko zailtasunak, eta baita lagin espazioa determinatzeko ere. Askoren ustean orain gertatutako gertaera batek ezin du eraginik izan aurretik gertatutako gertaera batean;akats honi, "denboraren ardatzaren falazia" esaten zaio.
Problemaren hainbat bertsio ikusiko ditugu jarraian, denak oso erakargarriak eta motibagarriak. Eztabaida sutsuak eta mamitsuak sor daitezke gelan edota lagunen artean proposatzen badira.
1. BERTRAND-EN KUTXAREN PARADOJA
Hiru kutxa daude bakoitzak bi kutxatxo barruan dituelarik eta kutxatxo bakoitzaren barruan txanpon bana. Lehenengo kutxan urrezko bi txanpon daude, bigarrenean urrezko txanpon bat kutxatxo batean eta zilarrezko bat bestean eta hirugarren kutxan zilarrezko bi txanpon. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, zoriz ere barruko kutxatxo bat aukeratzen eta barruan dagoen txanpona ateratzean urrezkoa dela ikusten da.
Zein probabilitatea dago kutxako beste kutxatxoan dagoen txanpona ere urrezkoa izateko?
Adi! Intuizioak sarritan kale egiten digu eta. Baldintzaren eragina ez da kontuan hartzen eta txanpon bat atera ondoren ere gertaerak ekiprobableak direla uste izaten da sarri askotan.
Hasiera batean, hiruren artean kutxa bat aukeratzen denean, probabilitate bera dago edozein aukeratzeko (1/3), gertaera ekiprobableak baitira.
Behin kutxa bat aukeratua izan denean eta bertatik urrezko txanpona atera ondoren, egoera berri baten aurrean gaude. Informazio berri bat dugu, eta informazio honek lagin espazioa aldatu edo murriztu egiten du, zilarrezko bi txanpon dituen kutxa baztertzen baitu. Eta gainera, bi gertaerak (1. kutxatik edo 2. kutxatik aterata izatea) ekiprobableak ez direla nahiko ebidentzia dago. Badirudi atera den txanpona urrezkoa izateak, 1. kutxatik (urrezko bi txanponak dituena) aterata izatea errazagoa dela pentsatzera eramaten gaituela (kontuan izan 2. kutxan urrezko bakarra dagoela).
Izenak ipiniko dizkiegu urrezko txanponei: 1. kutxan urrezko A eta urrezko B eta 2. kutxan urrezko C eta zilarrezkoa. Atera den urrezko txanpona A, B edo C da, baina bereizgarririk ez dutenez, ezin da jakin hiru horietako zein den. Beraz, hiru kasu hauek bereizten dira:
Urrezko A atera, barruan urrezko B
Urrezko B atera, barruan urrezko A
Urrezko C atera, barruan zilarrezkoa
Hiru kasuetatik bitan barruan urrezkoa txanpona dagoenez, barruan dagoen txanpona urrezkoa izateko probabilitatea edo, berdina dena, txanpona 1. kutxatik aterata izatekoa 2/3 da eta barruko txanpona zilarrezkoa izateko 1/3.
Problema bera beste era batean enuntziatuta, urrezko eta zilarrezko txanponen ordez bola beltzak eta zuriak erabiliz:
2. BERTRANDEN KUTXAREN PARADOXA (2)
Hiru kutxa ditugu. Lehenengoak bi bola zuri, bigarrenak bat zuria eta beste bat beltza eta hirugarrenak bi beltz ditu. Zoriz kutxa bat aukeratu ondoren, bertatik bola bat atera dugu. Ateratako bola beltza izan bada, zein da hirugarren kutxa aukeratu izanaren probabilitatea?
3. BI TXANPONAK
Kutxa batean bi txanpon ditugu. 1. txanponak bi aldeak zuriz margotuta ditu eta 2. txanponak alde bat zuriz eta bestea gorriz. Zoriz txanpon bat hartu, airera jaurti eta zuria irten da.
Zer da probableago, ikusten ez den aldea zuria ala gorria izatea?
Bigarren aldiz txanpon bera jaurtitzen da eta berriz ere zuria irten da. Zein da ikusten ez den aldea zuria izateko probabilitatea?
Azalpena
Gora begira irten den aldea zuria denez, beste aldearentzat bi aukera daude gorria ala zuria. Beraz, probabilitatea bera dago, 1/2. Baina, arrazoibide hau okerra da.
Egia da ezkutuan dagoen aldea zuria ala gorria izan daitekeela; hau da, lagin espazioa aurpegi honentzat: {Zuria, Gorria}, baina, gertaera hauek ez dira ekiprobableak.
Bi txanpon daude: (Z₁,Z₂), (Z₃,G); hau da, lau aurpegi. Lau aurpegietatik 3 zuriak eta bat gorria da. Ikusten den aldea zuria denez, eskutuan dagoen aldearentzat hiru aukera daude: bi zuri eta bat gorri.
➤ Z₁ ikusten bada, beste aldean: Z₂
➤ Z₂ ikusten bada, beste aldean: Z₁
➤ Z₃ ikusten bada, beste aldean: G
Beraz, txanpona jaurti ondoren zuria irten bada, probableagoa da ikusten ez den aldea zuria izatea, honen probabilitatea gorria izatearen bikoitza da:
P(Z) = 2/3 eta P(G) = 1/3
➤Irudi baten laguntzaz argiago ikusiko da:
➤Kontigentzia taula baten laguntzaz:
Ikusten den aldea zuria denez, lagin espazioa murriztu egin da, lehenengo zutabeari begiratu behar diogu soilik. 3 aurpegi zuri daude, eta hauetatik 2 dagozkio bi aldeak zuriz margotuta dagoen txanponari; hau da, 1. txanponari. Ondorioz, gorria baino bi aldiz probableagoa da azpiko aldea zuria izatea:
P((Z,Z)/ikusi Z)=2/3 eta P((Z,G)/ikusi Z)=1/3
➤Zuhaitz digrama baten bidez,
➤Bayesen teoremaz ere ebatz daiteke:
4. HIRU TXANPONAK
Hiru txanpon ditugu, batak bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartzen ditugu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahai gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela.
Apustua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela, zein aukeratuko zenuke? Zer da probableagoa, ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea?
Azalpena
Hasieran hiru txanpon daude,eta zoriz txanpon bat hartzen da; beraz, lagin espazioa: {1. txanpona, 2. txanpona, 3. txanpona}. Hiru gertaera hauek ekiprobableak dira (P = 1/3).
Txanpon bat hartu, mahai gainean bere aurpegietako bat gora begira jarri eta zuria dela ikusterakoan, lagin espazioa aldatu egiten da, bi aldeetatik gorria den txanpona (2. txanpona) ez dela aukeratua izan dakigulako. Lagin espazioa: {1. txanpona, 3. txanpona}. Baina orain bi gertaera hauek ez dira ekiprobableak eta bi txanponen problema ebatzi dugun eran ebatziko genuke hau ere.
5. MONTY HALL
Telebistako lehiaketa programa batean, lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago, kotxe bat, eta beste bietan ahuntza bana.
Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (ondo daki saria non dagoen) atzean ahuntza gordeta duen ate bat irekitzen du. Bi ate gelditzen dira: lehiakideak aukeratutakoa eta bestea.
6. PRESOAREN DILEMA
Hiru pertsona (A-B-C) preso daude epaiketaren zain. Hiruretako bat hiltzera kondenatua izango da eta beste biak libre irtengo dira. Epaileak erabakia zoriz hartuko du.
Epaileak A presoari C presoa libre irtengo dela esan dio eta, jarraian, galdetu dio ea nahi duen aldatu edo trukatu berarentzat hartuta dagoen erabakia B presoarekin.
Zer egin beharko luke A presoak? Trukea onartu ala ez?
7. ENEKOREN LAGUNEN PARADOXA
Enekok uztaila osoan Irlandan igaro ondoren, bueltan da aireportuan. Aita eta ama bere bila hurbildu dira aireporturaino.
Aitak honela galdetu dio semeari: "Lagun berririk egin duzu?", Enekok: "bai, bi lagun".
Aitak berriz: "lagunen bat neska al da?", "bai" erantzun dio Enekok.
Orduan, bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/3 da. Zergatik?
Ondoren, amak: "urrutitik ikusi dudan gorriz jantzita doan laguna neska al da?" Enekok: "bai".
Orduan, Enekoren bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/2 da. Zergatik?
*****
Batxilergoko 2. mailan funtzioen deribatuak eta hauen erabilerak gai nagusietako bat da. 17-18 urteko gazteek buru belarri ekiten diote deribatzeari eta teknika berri honen erabilerari; baina, deribatuen kontzeptua arrotza eta beraien egunerokotasunetik oso urrun ikusten dute ikasleek. Egoera honetan, zaila egiten zaie tresna honen benetako indarraz konturatzea eta deribatuen erabileraren teknika menperatzea.
Bai hautoprobetan, eta baita zientzia arloko ondorengo ikasketetan ere, kalkulu diferentzialari aurre egin beharko diote gure ikasleek. Beraz, batxilergoan ikasten diren oinarrizko kontzeptuak eta prozedurak forma egokian eta ulerkorrean jasotzeak berebiziko garrantzia izango du etorkizunean analisi matematikoari arrakastaz heltzeko.
