Aritmetikaren meategian harribitxi disdiratsu ugari daude Matematikaren edertasunaren lekuko. Gaur aurkeztuko dugun harribitxi landua Joseph Liouville (1809-1882) matematikariari zor diogu. Liouvillek Matematikaren arlo askotan egin zuen lan: Zenbakien Teoria, Topologia Diferentziala, Analisi Konplexua, ... aipatzekoa da ere, zenbaki traszendenteen existentzia probatzen lehena izan zela. Beraz, ekarpen handiak egindakoa dugu matematikari frantziarra. Jarraian aztertuko dugun problema xumeago bada ere, ez zaio dizdira falta. Zenbakien arteko erlazio ederra bezain harrigarria utzi zigun Liouvillek, altxor txiki bat.
Zenbaki arrunten honako propietate harrigarri hau nahiko ezaguna da:
"1tik hasita ondoz ondoko zenbakien kuboen batura, zenbaki hauen baturaren karratua da"
Propietate hau (1+2+3+...+n) aldeko karratu batean adieraz daiteke irudian ikusten den eran:
➤Propitatearen frogapena
Baina propietate hau ez da bakarrik egiaztatzen batetik hasita zenbaki arrunten segidekin, zenbaki arrunten multzoan badaude beste zenbaki familia batzuk propietate honen jabe ere direnak. Liouvillek aztertu eta aurkitu zuen metodo orokor bat zenbaki hauek lortzeko.
➤Liouvilleren aurkikuntza
N zenbaki osoa eta positiboaren zatitzaile bakoitzaren zatitzaile kopurua kalkulatu eta zerrendatzen badugu, zenbaki zerrenda honek propietatea betetzen du:
Nren zatitzaileak: {Z₁, Z₂, Z₃, ..., Zn}
Z₁ren zatitzaileen kopurua: a₁
Z₂ren zatitzaileen kopurua: a₂
Z₃ren zatitzaileen kopurua: a₃
..................................
Znren zatitzaileen kopurua: an
{a₁, a₂, a₃, ..., an} zenbaki multzoarekin propietatea egiaztatzen da:
Hona hemen adibide batzuk:
Adibide 1
2·3=6ren zatitzaileak: {1, 2, 3, 6}
6ren zatitzaileen zerrendako zatitzaileen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
2ren zatitzaileak {1, 2}, kopurua: 2
3ren zatitzaileak {1, 3}, kopurua: 2
6ren zatitzaileak {1, 2, 3, 6}, kopurua: 4
{1, 2, 2, 4} zenbaki multzoarekin ere propietatea betetzen da:
1+2+2+4 aldeko karratu marrazten badugu, propietatea geometrikoki ikus dezakegu:
Adibide 2
2²·3=12ren zatitzaileak :{1, 2, 3, 4, 6, 12}
12ren zatitzaileen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
2ren zatitzaileak {1, 2}, kopurua: 2
3ren zatitzaileak {1, 3}, kopurua: 2
4ren zatitzaileak {1, 2, 4}, kopurua: 3
6ren zatitzaileak {1, 2, 3, 6}, kopurua: 4
12ren zatitzaileak {1, 2, 3, 4, 6, 12}, kopurua: 6
{1, 2, 2, 3, 4, 6} zenbaki multzo honekin ere propietatea betetzen da:
Propietatea 1+2+2+3+4+6 aldea duen karratuan:
Adibide 3
5³=125ren zatitzaileak :{1, 5, 25, 125}
125ren zatitzaileen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
5ren zatitzaileak {1, 5}, kopurua: 2
25ren zatitzaileak {1, 2, 25}, kopurua: 3
125ren zatitzaileak {1, 5, 25, 125}, kopurua: 4
{1, 2, 3, 4} gorago frogatu dugun moduan propietatea egiaztatzen da:
Irudi batean adieraziz:
Adibide 4
2⁴=16ren zatitzaileak :{1, 2, 4, 8, 16}
16ren zatitzaileen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
2ren zatitzaileak {1, 2}, kopurua: 2
4ren zatitzaileak {1, 2, 4}, kopurua: 3
8ren zatitzaileak {1, 2, 4, 8}, kopurua: 4
16ren zatitzaileak {1, 2, 4, 8, 16}, kopurua: 5
{1, 2, 3, 4, 5} ondoz ondoko lehenengo bost zenbaki arrunt, beraz:
Propietatea geometrikoki 1+2+3+4+5 aldeko karratuan:
Adibide 5
3⁴=81ren zatitzaileak :{1, 3, 9, 27, 81}
81ren zatitzaileen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
3ren zatitzaileak {1, 3}, kopurua: 2
9ren zatitzaileak {1, 3, 9}, kopurua: 3
27ren zatitzaileak {1, 3, 9, 27}, kopurua: 4
81ren zatitzaileak {1, 3, 9, 27, 81}, kopurua: 5
Aurreko adibidean lortu den zerrenda bera dugu {1, 2, 3, 4, 5}, beraz:
➤Zenbaki lehen baten berreketaren kasua: 
Hasierako zenbakia 
zenbaki lehen baten potentzia bat denean (3, 4 eta 5 adibideak), zenbaki horren zatitzaileek duten zatitzaile kopurua, zenbaki arrunten segidak ematen digu: 1, 2, 3,...,n, n+1
zenbaki lehen baten potentzia bat denean (3, 4 eta 5 adibideak), zenbaki horren zatitzaileek duten zatitzaile kopurua, zenbaki arrunten segidak ematen digu: 1, 2, 3,...,n, n+1 ren zatitzaileak :{1, p, p², p³, p⁴, ..., }Zatitzaile hauen zatitzaile kopurua:
1ren zatitzaileak {1}, kopurua: 1
pren zatitzaileak {1, p}, kopurua: 2
p²ren zatitzaileak {1, p, p²}, kopurua: 3
p³ren zatitzaileak {1, p, p², p³}, kopurua: 4
···········································································
ren zatitzaileak {1, p, p², p³, ..., }, kopurua: n+1 zenbakiaren zatitzaileen zatitzaile kopuruek lehenengo (n+1) zenbaki arrunten zerrenda eratzen dute: {1, 2, 3, ...,n, n+1}Beraz, zenbaki lehen baten berreketaren kasuan lehenengo (n+1) zenbaki arrunten segida lortzen da, eta hasieran indukzioz frogatu dugunez:
➤Kasu orokorra
Liouvillek aurkituriko lege orokorra enuntziatu eta indukzioz egiaztatuko dugu,
➤Zenbait kasuren azterketa. Klasean lantzeko proposamena
Liouvilleren problema ikasgelara eraman daiteke eta ikerketa bezala proposatu ikasleei.
Liouvilleren problema
Aukeratu nahi duzun zenbakia (hasi zenbaki txikiekin) eta bere zatitzaile guztiak kalkulatu. Ondoren, zatitzaile bakoitzaren zatitzaileak kalkulatu eta idatzi zerrenda batean zatitzaile bakoitzak duen zatitzaile kopurua. Zerrenda honen balio guztiak batu eta baturaren karratua egin (1. emaitza). Zerrendako balio bakoitza ber hiru egin eta gero, kubo hauen batura kalkulatu (2. emaitza).
Konparatu bi emaitzak. Zer ikusten duzu? Aukeratu beste zenbaki batzuk eta egiaztatu lorturiko erlazioa. Ikertu gehiago.
Ikerketan sakontzeko, zenbakien faktore lehenetako deskonposizioa kontuan izango dugu: zenbat faktore lehen desberdin eta hauen anizkoitasuna (berretzailea), ea pautaren bat aurkitzen dugun. Ondoren, Liouvilleren zenbakiak lortzeko metodo azkarra eta zenbaki triangeluarrekin duten erlazioa ikertuko dugu:
① erako zenbakiak. n berretzailea aldaraziko dugu, beheko koadro honetan ikusten den bezala. Hainbat adibide aztertu ondoren, propietatea induzitu dezakete ikasleek.
erako zenbakiak. n berretzailea aldaraziko dugu, beheko koadro honetan ikusten den bezala. Hainbat adibide aztertu ondoren, propietatea induzitu dezakete ikasleek. 
Erlazioa geometrikoki adierazteak problema aberasten du. Azaleren banaketa ez da bakarra, azalera bereko eta perimetro berdineko eta desberdineko hainbat poligono daude, adibidez:
② Bi zenbaki lehen desberdin ditu, baten berretzailea beti 1 eta bestearena aldaraziz:
③ Hainbat zenbaki lehen desberdin, denak sinpleak:
Beste adibide batzuk ere azter daitezke.
④Liouvilleren zenbaki zerrenda azkarrago lortzeko metodoa iradoki edo aipa diezaiekegu: zenbakiaren faktore lehen bakoitzaren zatitzaileen zatitzaile kopurua kalkulatu (➜{1,2,3,...,n, n+1}) eta kopuruen zerrendak elkarren artean biderkatuz Liouvilleren zenbakiak izango ditugu, adibidez,
➜{1,2,3,...,n, n+1}) eta kopuruen zerrendak elkarren artean biderkatuz Liouvilleren zenbakiak izango ditugu, adibidez,
⑤ Honetan oinarrituta ikerketan sakonduko dugu. Erlazioaren alde batean zenbaki karratuak agertzen dira, Liouvilleren zenbakien baturaren karratua. Edozein zenbaki karratu sor daiteke Liouvilleren zenbakiekin? Zeintzuk dira posibleak? 5²=25 ager daiteke? Eta 6²=36? 18²=324? 12²=144?...
Azter dezagu adibide bat:
Adibide gehiagorekin konproba dezakegu Liouvilleren zenbakiak zenbaki triangeluarrak eratzen dituzten segiden arteko biderkadurek sortzen dituztela eta Liouvilleren zenbakien batura beti ere zenbaki triangeluar bat edo hainbat zenbaki triangeluarren biderkadura dela.
Gogoratu n-garren zenbaki triangeluarra lehenengo n zenbaki arrunten batura dela:
Beraz, 5²=25 eta 12²=144 ezin dira agertu Liouvilleren erlazioan, 5 eta 12=3·4 ez direlako zenbaki triangeluarrak, ezta zenbaki triangeluarren biderkadura ere. Bai, ordea, 36=6²=(T₃)² eta 18²=(3·6)²=(T₂·T₃)²
N zenbakiaren faktore lehen bakoitzaren zatitzaileen zatitzaile kopuruen batura zenbaki triangeluarra denez, Liouvileren zenbakien batura zenbaki triangeluarren biderkadura da eta zenbaki triangeluar hauen ordena faktore lehen bakoitzaren 𝝰 berretzailea gehi bat da (𝝰+1):
Jarraian hiru adibide zenbaki triangeluar eta Liouvilleren zenbakien arteko erlazioa ikusteko:
Adibide 1
N=144 zenbakiaren Liouvileren zenbaki zerrenda kalkulatu eta hauen batura adierazi zenbaki triangeluarrak erabiliz.
144=2⁴·3²
2⁴➩zatitzaleen zatitzaile kopurua ➩ {1,2,3,4,5}
3²➩zatitzaleen zatitzaile kopurua ➩ {1,2,3}
{1,2,3,4,5} eta {1,2,3} elkarren artean biderkatuz Liovilleren zenbaki zerrenda dugu:
{1,2,3,4,5,2,4,6,8,10,3,6,9,12,15}
1+2+3+4+5+2+4+6+8+10+3+6+9+12+15=(1+2+3+4+5)(1+2+3)=
=T₅·T₃=15·6=90
1³+2³+3³+4³+5³+2³+4³+6³+8³+10³+3³+6³+9³+12³+15³= 8.100
(1+2+3+4+5+2+4+6+8+10+3+6+9+12+15)²=90²= 8.100
Adibide 2
Kalkulatu batura 54 ematen duen Liovillen zenbaki zerrenda, koprobatu erlazioa egiaztatzen dela eta idatzi N zenbakiaren faktorizazio mota.
54=3·3·6=T₂·T₂·T₃=(1+2)(1+2)(1+2+3)=(1+2)(1+2+3+2+4+6) =1+2+3+2+4+6+2+4+6+4+8+12
1³+2³+3³+2³+4³+6³+2³+4³+6³+4³+8³+12³= 2.916
(1+2+3+2+4+6+2+4+6+4+8+12)²=54²= 2.916
N=p·q·r² erako zenbakiari aurreko Liouvilleren zenbaki zerrenda dagokio. Adibidez: 3·7·11² ; 2·13·17² ; 5·2·3² ; ...
Adibide 3
Liouvilleren zenbakien batura zenbaki triangeluar baten potentzia izan dadin, zein izan behar da N zenbakiaren faktorizazio mota?
Zenbaki triangeluarra ber bi:
(T₂)²=T₂·T₂=(1+2)(1+2) ➩ N=p·q
(T₃)²=T₃·T₃=(1+2+3)(1+2+3) ➩ N=p²·q²
(T₄)²=T₄·T₄=(1+2+3+4)(1+2+3+4) ➩ N=p³·q³
........
(Tn-1)²=Tn-1·Tn-1=(1+2+...+n)(1+2+...+n) ➩ N=pⁿ·qⁿ
Zenbaki triangeluarra ber hiru:
(T₂)³=T₂·T₂·T₂=(1+2)(1+2)(1+2) ➩ N=p·q·r
(T₃)³=T₃·T₃·T₃=(1+2+3)(1+2+3)(1+2+3) ➩ N=p²·q²·r²
(T₄)³=T₄·T₄·T₄=(1+2+3+4)(1+2+3+4)(1+2+3+4) ➩ N=p³·q³·r³
........
(Tn+1)³=Tn+1·Tn+1·Tn+1=(1+2+...+n)(1+2+...+n)(1+2+...+n) ➩ N=pⁿ·qⁿ·rⁿ
Desberdinak diren N zenbakiaren faktore lehenen kopurua zenbaki triangeluarraren berretzaileak ematen du eta faktore lehenen berretzailea zenbaki triangeluarraren ordena ken bat da.
❃❃❃
Problema honetan erabili behar izan diren eduki matematikoak oinarrizkoak dira: zenbaki baten deskonposizioa faktore lehenetan, zatitzaileak, zatitzaile kopurua, berreturak (karratuak eta kuboak), zenbaki arrunten segida, zenbaki triangeluarrak,... Honek hainbat mailatan proposatzeko aukera ematen digu, baina, beti ere, ikaslearen mailari dagokion egokitzapenak eginez.
Problemaren testuingurua guztiz matematikoa izanda ere, hainbat kontzeptu, eduki, prozedura eta estrategia aplikatzeko aukera eskaintzen dio ikasleari; beraz, konpetentzia matematikoaren garapenarako problema egokia dugu gaurko hau.
Aipatu beharra dago problemen ebazpenaren helburua ez dela emaitza zuzena lortzea besterik. Ahal den neurrian haruntzago joaten saiatuko gara: kasu partikularrak aztetu, galderak egin, konjeturak planteatu, problema zabaldu, problema berriak asmatu, hausnartu, arrazoitu, justifikatu eta orokortu; bi hitzetan: "Matematika Egin".
Amaitzeko George Polya gogora ekarriko dugu prolemen ebazpenari buruzko bere esaldi esanguratsu honekin:
Gaurko artikulu hau matematikaren bultzaitzaile aparta den eta laguna dudan J. M. Lopez Irastorzari eskaini nahi diot bereziki. Gure Liouville txikia, Matematikaren altxorren zaindari.
Eskerrik asko!!
J. L.
