Paradoxen festa

PARADOXA 1: "Segmentuaren desagerpena"

Irudiko laukizuzenaren barruan hamar segmentu bertikal marraztu dira. Diagonal bat jarraituz, laukizuzena bi triangelutan banatu da:

Odoren, bi triangeluak desplazatu dira, hurrengo irudian ikusten moduan:

Zenbatu barneko segmentuak. Hasieran 10 segmentu zeuden eta orain bakarrik 9.

Nola? Zer gertatu da falta den segmentuarekin? Non dago?




PARADOXA 2:  "%1 bakarrik?"

10 Kg-ko sandia fresko baten %99 ura da. Bi zatitan ebaki eta eguzkitan utzi dugu sikatzen. Denbora tarte bat igaro eta gero sandiaren ur proportzioa %98 bada, zein da une honetan sandiaren pisua?

PARADOXA 3:  "Batazbesteko abiadura"

Oñatiko plazatik Arantzazuraino 10 Km daude. Bizikletan egin dugu igoera, batazbeste 10 Km/h abiaduraz. Ibilbide osoko batazbesteko abiadura 25 Km/h izan dadin, zein abiaduraz jaitsi behar dugu?

PARADOXA 4:  "50 €rekin aberats"

 5 euro = 665    JPY (Yen japoniarra)

10 euro = 1.330 JPY (Yen japoniarra)

Beraz, berdintza honen bi aldeak biderkatuz:

50 euro = 884.450 JPY

Nola???

Japoniara bizitzera komeni zaigu?

PARADOXA 5:  "3 = 5?"

Egia izango ote?  3= 5?

Non dago akatsa? Arrazoitu.

PARADOXA 6:  "1 = -1?"

Behatu ondorengo berdintzak:

Ze pauso ez da zuzena? Zergatik?

PARADOXA 7:  "erro karratuaren paradoxa"

Nola definitzen da handiago edo berdin zero den zenbaki erreal baten erro karratua?

PARADOXA 8:  "Deribatuaren paradoxa"

Non dago akatsa?






*****

Read More

Biderik laburrena

P puntutik Q puntura desplazatzeko, bide bat aukeratu behar dugu: urdina ala berdea. Urdina Ptik Qra zuzenean doan PQ zirkunferentzierdi bat da. Berdea, ordez, bost tramo ditu eta bostak zirkunferentziaerdiak dira (AB, BC, CD eta DQ).

Zein da biderik laburrena? Zergatik?

("matematicascercanas" blogean irakurritako problema)

*****

Read More

Estrategiazko jokoa: zenbakiak ezabatzen.

Lehenengo 400 zenbaki arruntak idatzi ditut arbelean. Ondoren, binaka jolasteko estrategiazko joko bat proposatu diet ikasleei. Bikotean, bat Eneko izango da eta bestea Maialen.

Hauxe da jokoaren azalpena:

1, 2, 3, ··· 198, 199, 200, 201, 202, ··· 398, 399, 400

Aurrena Enekok 100 zenbaki aukeratu eta ezabatu behar ditu. Ondoren, Maialenek beste 100 zenbaki ezabatuko ditu. Baldin ezabatutako 200 zenbakien batura ezabatu gabeko 100 zenbakien baturaren berdina bada, Maialenek irabaziko du jokoa; bestela, Eneko izango da txapelduna.

Bietatik, zeinek dauka estrategia irabazlea? Azaldu.

Eta Enekok 101 zenbaki ezabatzen baditu eta Maialenek 99? Zeinek dauka orain estrategia irabazlea?

*****

Read More

Biderkadura erraza I

Orixe ikastetxeko matematikako irakasleak hainbat truku ezagutzen ditu biderkadurak buruz egiteko. Eguneroko bizitza arruntean duen garrantziaz konturatuta, buruzko kalkulua azkar egiteko estrategiak garatu beharra dagoela uste izan du beti, konpetentzia numerikoa delakoa eta zenbakiekin trebetasuna eskuratzeko baliabide ezin hobea baita.

Gaur goizean ikasgelan sartzeaz bat hainbat biderkaketa idatzi ditu arbelean; ondoren, emaitzak buruz kalkulatu ditu instant batean:

43·47=2021;  61·69=4209;  38·32=1216;  75·75=5625;  23·27=621;....

Honela galdetu die ikaslei:

Biderkagaiak bi zifrako zenbakiak dira, baina ez edozein. Jarri zeuen arreta, alde batetik zenbakien hamarrekoen zifran eta bestetik, batekoen zifran. Zer ikusten da argi eta garbi?

Ikasleek berehala antzeman dute hamarrekoen zifra berdina eta batekoen batura 10 dela. Hala da, bi baldintza hauek egiaztatzen direnean balio du soilik metodo honek.

Emaitzari begira, erlazionatu honen azkeneko bi zifrak bidertutako zenbakien batekoen zifrekin eta lehenengo biak (batzuetan zifra hau bakarra izango da) zenbakien hamarrekoen zifrarekin. Zer erlazio dago?

Erlazioa hau aurkitzea ez zaie asko kosta:

Baina, matematikan sakontzea nahi izaten dugu, "zergatik?" galderari erantzutea nahi izaten dugu.

Zergatik funtzionatzen du metodo honek? Nola egiazta daiteke? Animatzen zara egiaztepena egitera? Oinarrizko aljebra aplikatu, eta listo!

(Gogoratu: ab = 10a + b  eta  ba = 10b + a)

Read More

Laukizuzenen azalerak konparatzen

Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?



Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Geogebran egindako applet honek argituko dizu bidea. Mugitu P puntu gorria eta kokatu han eta hemen, hainbat lekutan, laukizuzen berdearen barnean, urdinean eta diagonalean:

Zer ikusten da? Ikusitakoaren arabera, konjetura bat proposa daiteke, zein?

http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611


Saia zaitez orain azalpena ematen; hau da, planteatu duzun konjeturaren egiaztapen geometrikoa emanez.

Jarraian azalpen posible bat,



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotuko ditugu,



Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marraztuko dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 

Azalera 1 = Azalera 1'

Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'

(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,

Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.





Oharra:  Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

*****

Read More

Orriaren zatiak

AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.

1. Zein da AB segmentuaren luzera?
2. Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
3. Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?

Hemen uzten dizut soluzio proposatua. Saia zaitez begiratu gabe ebazten, baina nahi duzunean klikatu ikusteko ea ados zauden edo bestelako ebazpideren bat proposatzen duzun.





*****

Read More

Erpinak, angelu zuzenak eta zirkunferentzia

Honako irudi honek ez du azalpenik behar, triangelu zuzenen oinarrizko propietate bat aurkezten digu. Propietate hau ez da oso ezaguna ikasleen artean, baina ikusizko froga hau bigarren hezkuntzako edozein ikaslek ulertuko luke.

Propietate honen laguntzaz, saia zaitez ondorengo egiaztapen-problema hau azaltzen.

PROBLEMA

Irudiko E puntua PT zuzenkiaren erdiko puntua da eta P, Q, R, S, T, M, N eta O erpinetako angeluak zuzenak dira. Egiaztatu badagoela P, Q, R, S, T, M, N eta O puntuetatik igarotzen den zirkunferentzia bat.

*****

Read More

Karratua laukizuzenetan zatitzen

Irudiko ABCD karratua azalera bereko 4 laukizuzenetan zatitu dugu.

PQ=3 bada, zein da ABCD karratuaren azalera?

*****

Read More

Ibilbide bitxia

Herriko parkean ibilbide berria ireki dute oinezkoentzat. Pasealeku bitxia da oso, espiral zuzenaren itxura du. P puntutik abiatuz 1 m ibili ondoren 90º biratu behar dugu beste 2 m lerro zuzenean ibiltzeko. Ondoren, berriz 90º biratuz, 3 m-ko ibilbide zuzena dugu. Jarraian, 90º biratu eta gero, aurrera 4 m. Horrela jarraituz, tramo zuzen bakoitzaren ondoren bira laurdena eginez eta aurrera lerro zuzenean aurreko zatian baino metro bat gehiago ibiliz, amaierara iritsiko gara; hau da, Q puntu batera. Ikusi irudia:

Azkeneko tramo zuzena 30 metrokoa bada:

• Zenbat tarte zuzen ditu ibilbideak? 
• Irudiaren arabera, non kokatuko da azkeneko zatia (goian-behean-eskubian-ezkerrean?  
• Ibilbidea Q puntuan amaitzen bada, zein da PQ distantzia?

*****

Read More

Egiazkoa ala faltsua? Esaldien problema

Ondoren, Adrian Paenzak dionez, pentsatzera gonbidatzen zaituztet. Apur bat buruari eragitea besterik ez baita behar, ez kalkulurik ez ezagupen matematikorik, datozen lerroetan proposatzen dizuedan logikazko problemari erantzuteko.

Problema

Hamar esaldi idatziko dizkizuet, eta zuek erabaki behar duzue zeintzuk diren egiazkoak eta zeintzuk faltsuak; arrazoiak emanez, jakina!

Hona hemen esaldiok:

1. Zerrenda honetan esaldi bakarra da  faltsua.
2. Zerrenda honetan bi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
3. Zerrenda honetan hiru esaldi bakarrik dira  faltsuak.
4. Zerrenda honetan lau esaldi bakarrik dira  faltsuak.
5. Zerrenda honetan bost esaldi bakarrik dira faltsuak.
6. Zerrenda honetan sei esaldi bakarrik dira  faltsuak.
7. Zerrenda honetan zazpi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
8. Zerrenda honetan zortzi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
9. Zerrenda honetan bederatzi esaldi bakarrik dira  faltsuak.
10. Zerrenda honetan hamar esaldi bakarrik dira  faltsuak.

Garbi geratu bazaizue, ekin!

*****

Read More

Trueloa

Hiru persona A, B eta C triangelu aldekide baten erpinetan kokatu dira, eskuan pistola bana dutela, tiro egin eta besteak akabatzeko asmoz. Duelu moduko bat egin behar dute, baina hiruren artean denez "truelu" esango diogu.



A-k  tiroen %33 asmatzen du, B-k %66 eta C-k %100 (ez du inoiz kalerik egiten). Txandaka egingo dute tiro eta txada bakoitzean tiro bakar bat. A hasiko da, ondoren B eta azkenik C; horrela truelua bukatu arte.

Zein da A-rentzako estrategiarik onena? Nola komeni zaio jokatzea bizirik irtetzeko aukerak handitzeko? 

Azalpen logikoa eskatzen da. Ez ahaztu C arriskutsuena dela, ez baitu kalerik egiten.

*****

Read More

Apustua

1.652. urtearen inguruan Blaise Pascal (1.623-1.662) matematekariak "Caballero de Méré" jokalari eta apustuzale amorratuarekin  egin zuen topo. De Méré zaldunak dado eta kartetako jokuetarako trebetasun berezia zuen; gizon jantzia eta inteligentea zen; diotenez joku hauetan dirutza egin zuen. Pascalekin izandako hizketaldian, De Mérék zenbait problema, zein baino zein interesgarriago, proposatu zizkion. Problemok Pascalen arreta bereganatu zuten eta buru belarri aritu zen ebatzi nahian. Pierre de Fermat (1.601-1.665) matematikariarekin konpartitu zituen problema hauek gutunez. Bien artean kolaborazio edo erlazio zientifikoa sortu zen, eta elkarri lorturiko emaitzak bidaltzen zizkioten.

 

Hona hemen problema horietako bat:

Demagu bi jokalarik (A eta B jokalariak) 64 txanponetako apustu batean parte hartzen dutela (bakoitzak 32 ipini ditu). 3 puntu lortzen dituenak beretzat 64 txanponak hartuko dituela adostu dute. Baina A jokalariak 2 puntu eta B-k puntu bat duenean, jokua bertan behera uztea erabakitzen dute.

Nola batu behar dituzte 64 txanponak?

⏩EBAZPIDEA⏪

*****

Read More

Misilak

A eta B hirien arteko distantzia 7.153km-koa da. Atik misil bat jaurtitzen dute 12.000 Km/h-ko abiaduraz B hiria erasotzeko asmoz eta Btik aldiberean, Atik bidalitakoa suntsitzeko, beste bat 24.000 km/h-ko abiaduraz. 

Esan al dezakezu batak bestearen kontra jo baino minutu bat lehenago zein distantziatara zeuden misilak?

*****

Read More

Karratuen kenduraren problema

Izaskun matematikako irakasle saiatua da. Gaur goizean identitate nabariak azaltzen hustu da; ahalegin guztiak egin ditu, baina ikasleek ez diete adierazpen hauei zentzurik ikusi. Hauen ustez, formula hauek ez dute inolako erabilerarik. 

Izaskunek ondotxo daki datozen ikasturteetan sarritan lana erraztuko dietela formula famatu hauek, baina, ezin die maila hortako adibiderik ipini. 

Pentsatzen jarri da, eta adibide polit eta egoki bi aurkitu ditu karratuen kenduraren formula aplikatzeko. Gustatu egin zaio, halako proposamenek ikasleak pentsatzera bultzatzen dituztelako.

Hauek dira proposatutako problemak:

Problema1

Kalkulu ondoko batura hau ahalik eta azkarren (problema honetan, ez da gomendagarria kalkulagailuaren erabilera):

.

Problema 2

Nola deskonposa daiteke 999991 zenbakia bi zenbaki osoren biderkadura bezala, buruz, kalkulagailua erabili barik?

Asmatu zuk beste adibide batzuk

*****

Read More

Problemen Ebazpena I eta II (problemen biduma ebatziak)

Prest_Gara irakasleen formakuntza planaren barnean, 2015-16 eta 2016-17 ikasturteetan, " Problemen Ebazpena Lankidetzan Blog Batekin" ikastaroan proposatutako problemen bildumak prestatu ditugu lankide guztiekin partekatzeko asmoz. Lehenengo atalean problemen enuntziatuak eta bigarrenean ebazpideak txertatu ditugu.

Edonori baliabide hauek irakaskuntzarako erabilgarri iruditzen bazaizkio, jaitsi, aldatu, zuzendu eta nahi dituen moldaketak egin ditzake.

Lan hauen helburua laburbilduko dugu Maria Antonia Canalsen hitzak gure eginez: 

"Problemak, kalkuluak egiteko baino pentsarazteko dira" 

PROBLEMEN EBAZPENA II (2016-17)

PROBLEMEN EBAZPENA I (2015-16)

*****

Read More

Kandelak eta denbora.

Irudian agertzen diren moduko bi kandela ditugu.

Bakoitza ordu betean guztiz erretzen da.

Kandelak nahi den aldetik piztu daitezke, baina ezin dira moztu, ezta markatu ere.

Baldintza hauekin ordu bat eta bi ordu neurtzea oso erraza da, baina:

Nola neur dezakegu 30 minutu? eta 15 minutu?

*****

Read More

Zirkuluen kolore-kodearen bila.

Problema

Zuriz eta beltzez margotutako sei zirkulu marraztu ditugu lerrokatuta horizontalean eta diagonalean irudian erakusten den moduan. Errenkada bateko zirkuluen kolorea aukeratzeko erabili dugun araua aurreko errenkadaren menpekoa da solik.

Saia zaitez kolore-kodea aurkitzen eta erantzun galderei:

Nola margotu behar dira zazpigarren errenkadako zirkuluak?

Egon al daiteke zirkulu guztiak beltzak dituen errenkadarik?

Margotu 2015. errenkadako zirkuluak

_____________________

Laguntza 

Pistatxo bat nahi baduzu sakatun hemen

Azalpena

Konparatu gaineko lerroko zirkuluen kolorea eta erraz aterako duzu kodea, emaiozu denboratxo bat zeure buruari pentsatzeko. 

Dagoenekoz, lortu duzu kodea, ezta?

Hemen doakizu nire proposamena,

*****

Read More

Biderkaduraren beldur, zeroei agur

101001000100001 zenbakia beste zenbaki oso batez biderkatu nahi dugu, halako moldez non emaitzaren zifren artean zerorik ez dagoen; hau da, zifra guztiak desberdin zero diren.

Posiblea al da? Ba al dago, biderkadura egin ondoren, 101001000100001 zenbakiaren zeroak jango dituen zenbakirik?

Probatu antzekoak diren zenbaki txikiagoekin (101, 101001, ···) eta sai zaitez orokortzen ere itxura bereko zenbakietara.

Read More

"Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" (Prest_Gara ikastaroak 2017-18)

Irailaren 18an, "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" (Prest-Gara 2017-18) ikastaroaren 3. edizioari hasiera emango diogu. Aurrekoetan bezala, honetan ere problemak proposatu, komentatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bitartez dinamizatuz. 

Arrazoibide matematikoa eta pentsatzeko prozesu eraginkorrak azalarazten dituzten problemak aurkitzea eta proposatzea izango dugu helburu. Ondoren, ikastaro amaieran, gure ikasleen ahalmen heuristikoa indartzeko baliogarria izango den problema aukeratuen bilduma prestatu eta lankideekin  partekatzeko asmoz. 

PROBLEMEN EBAZPENAREN GARRANTZIA

Sarri entzun izan dugu matematikaren ardatza problemen ebazpena dela, eta zeregin honen inguruan antolatu beharko genukeela matematika beraren irakaskuntza. Tamalez, temarioak direla edo denbora falta dela eta, ez dugu betarik aurkitzen problemak ebazteko eta errutinazko ariketek jaten dizkigute ordu gehienak. 

Gaitasun matematikoa eta oinarrizko kopetentziak bere osotasunean garatzeko problemak ebatzi behar dira, mota guztietakoak: problema itxiak, irekiak, testuingurudun problemak, testuinguru gabekoak, ikerketak, proiektuak, egiaztapen bisualak, jokoak, matemagia,... Jarduera hauek arrazoibide matematikoa erabiltzera bultzatzen dute, prozesu mental eraginkorrak eskuratzen laguntzen dute eta matematikari esanahi osoa ematen diote.

Miguel De Guzmanen hitzak gogoratuz:

“Matematikaren irakaskuntzan edukien transferentzia hutsa baino pentsamendu prozesuak azpimarratu beharko genituzke, matematika bera hein handi batean egiten jakin baita. Zientzia matematikoan, metodoa edukien gainetik dago zalantza barik. Hori dela bide, problemen ebazpenean abian jartzen diren prozesu mentalei lehentasuna eman behar zaie”.

Hitz hauek oso esanguratsuak dira; aspaldi esandakoak badira ere, ez dute gaurkotasunik galdu. Pentsamendu prozesuetan dago gakoa. Prozesu hauek garatzen eta indartzen ez diren bitartean, matematikarako gaitasunaren garapena urria izango da. Edukietan baino metodoan eta problemen ebazpenean zentratzea gomendatzen da.

Gai honi buruz gehiago irakurtzeko: "Problemen ebazpenaren garrantzia" (artikulua-EMIE Buletina zk. 1)

PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN

"Problemak, kalkuluak egiteko baino pentsarazteko dira"

 Maria Antonia Canals                                

Hasteko, matematikaren edertasunaz eta, partikularki, problemen ebazpenaz gozatzeko bideo sorta doakizue. 

ARS QUBICA from Cristóbal Vila on Vimeo.

Eduardo Saenz De Cabezon matematikariak problema erakargarria proposatzen digu:

Problemak aberasten; problema bat hainbat ebazpide:

Sorginkeri matematikoak. Arthur Benjaminek Sorgintzen gaitu Fibonacciren zenbakiekin.

Pitagorasen teoremaren hainbat egiaztapen geometriko:

Pascalen triangelua:

Fibonacciren segidaren propietate miragarriak:

Fibonacciren segida zenbaki pitagorikoen sortzaile

 Fibonacciren segidaren gordelekua, Pascalen triangelua

Ongi etorri guztioi!!

*****

Read More