Probabilitate bi problema: Monty Hall eta Presoaren Dilema.

Egunotan probabilitatea izan dugu protagonista batxilergoko klase  orduetan. Intutuizioa axiomatikaren gainetik jarriz, hainbat problema paradoxiko eta anti-intuitibo ebazteari ekin diogu. Horien artean, gaurko artikulu honetan aztertuko ditugun "Monty Hall-en problema" eta "Presoaren dilema". Monty Hall-en problema bigarren aldiz proposatzen dut nire blogean, aurreko sarrera batean izan genuen ere aztergai: HEMEN 

"MONTY HALL"

Telebistako lehiaketa programa batean, lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago, kotxe bat, eta beste bietan ahuntza bana.

Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (ondo daki saria non dagoen) atzean ahuntza gordeta duen ate bat irekitzen du. Bi ate gelditzen dira: lehiakideak aukeratutakoa eta bestea.

Jarraian, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko: lehen aukeratutako atea utzi eta bestea hautatu.

Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?

Intuizioari eutsiz azter dezagun problema hau lasaitasunez.

Zoriz hiru ateetatik bat hautatzen dugunean, kotxe berrian etxera itzultzeko izango dugun probabilitatea 1/3 da. Igo al daiteke probabilitate hau atez ez aldatzea erabakitzen bada?

Lehenengo irakurketan pentsa liteke atez aldatzeak ez digula inolako bentajarik ekarriko, aldatu ala ez kotxea irabazteko probabilitatea 1/2 dela. Baina, 1/2 bada, igo egin da; orduan, aurkezleak ahuntza duen ate bat zabaltzeagatik hasierako 1/3ko probabilitatea igo egin da 1/2ra?  Nola? Benetan hala da? Zer dela eta 1/2? Bi ate gelditzen direlako? Ez al genekien beste bi ateetako batean, gutxienez batean, ahuntz bat zegoela? Inporta al da ate hori zabalik egotea gure atea ez uztea erabaki badugu? Ate aldaketarik ez badago, irabazteko probabilitatean ere ez da aldaketarik emango.

Bildu beste bi ateak eta hartu bloke bat moduan. Argi dago bloke honetan kotxea egoteko probabilitatea 2/3 dela, eta aukera izanez gero, bloke osoa hautatuko genukeela. Bloke honetako sari gabeko ate bat irekitzen denean, blokeak jarraitzen du izaten 2/3ko probabilitatea, baina orain guztia ireki gabe dagoen atera pasa da. Aurkezleak aldatzeko proposamena egiten digunean, bloke osoa eskaintzen digu (irekita dagoen atea ez dugu ezertarako nahi, ez guk, ez berak). Ondorioz, atez aldatzea komeni zaigu, irabazteko probabilitatea bikoiztu egiten baita.

Hobeto ulertzeko alda dezagun problemaren enuntziatua. Hiru sobre daude, batean premio on bat (kotxea) eta beste bietan ezer ez (edo ahuntza bana). Zoriz sobre bat aukeratu dugu eta aurkezleak beste bietatik sari gabeko sobre bat zabaltzen du. Hutsik dagoenez, oparitu egiten dizu. Jarraian, zuk aukeratutako sobrea ireki gabe dagoenarekin aldatzeko proposamena luzatzen dizu. Ez zenuke aldatuko? Funtsean, hasierako bi sobreak eskaini dizkizu. Ireki gabeko sobrean 2/3ko probabilitatea metatu da; beraz, aldatzea komeni zaizu.

Jokalari baten estrategia atez aldatzea bada, ondorengo zuhaitz diagraman labur daiteke irabazteko duen probabilitatea:

Estrategia atez ez aldatzea denean:

Aurkezpenean honetan hainbat azalpen proposatzen dira:

*****

"PRESOAREN DILEMA"

Hiru pertsona (A-B-C) preso daude epaiketaren zain. Hiruretako bat hiltzera kondenatua izango da eta beste biak libre irtengo dira. Epaileak erabakia zoriz hartuko du.
Epaileak A presoari C presoa libre irtengo dela esan dio eta, jarraian, galdetu dio ea nahi duen aldatu edo trukatu berarentzat hartuta dagoen erabakia B presoarekin.

Zer egin beharko luke A presoak? Trukea onartu ala ez?

Problema hau "Monty Hall"-en problemarekin uztartu daiteke honako identifikazio hauek eginez: 

Aske geratzea ➪ Ahuntza irabaztea

Hiltzera kondenatuta izatea ➪ kotxea irabaztea

C presoa aske geratuko dela jakitea ➪ Ahuntza duen ate bat zabaltzea

Beraz, oraingo honetan ez aldatzea komeni zaio, ateen probleman ahuntza irabazteko estrategia bera, honela hasieran aske geratzeko zeukan probabilitatea 2/3 mantenduko du. Aldatzen badu probabilitatea 1/3 izatera pasatuko litzateke.

*****

Read More

Probabilitate problema. Oinarrizko proportzioaren falazia.

Hiri bateko biztanleen % 90 zuriak dira eta % 10 beltzak. Hiri horretan delitu bat gertatu da, gauean etxe batean lapurretan egin dute.

Auzokide batek lapurra gizon beltz bat izan dela deklaratu du. Deklarazio hau kontuan harturik, poliziak gizon beltz bat atxilotu eta erruduntzat hartu du.

Salaketari indarra eman nahian, lapurreta gertatu zen ordu berean eta baldintza berdinetan proba bat egiten diote lekukoari, eta honek lapurraren azal kolorea % 80 aldiz asmatzen du.

Badago lapurreta leporatzerik lekukoak esandakoarekin? Hau da, lekukoak lapurra beltza dela esan badu, zein da benetan lapurra beltza izateko probabilitatea?

🔷🔷🔷

Probabilitate problema paradoxikoa dugu gaurko hau, eta oinarrizko proportzioaren falazia izenarekin ezagutzen da.

Joera handia izaten dugu eskaturiko probabilitatea lekukoak proban  izandako % 80rekin identifikatzeko. Baina ez da hori, kontuan izan behar dugu lekukoak esaten duenak baldintzatzen duela benetan lapurra beltza izatearen probabilitatea. Bestelako proportzio bat erabili beharra dago, non lekukoak esandakoa kontuan izaten den.

Jarraian azalpen bat doakizue:

🔷AZALPENA🔷

*****

Read More

Probabilitatea eta banaketa justua.

Martxel eta Erika, matematikako irakaslearen erretolikaz asperturik, gogoz ari dira jolasten. Zorizko joko bat asmatu dute, 6 puntu lortzen dituena 32 € irabaziko ditu (bakoitzak 16 € ipini ditu). Erikak 5 puntu eta Martxelek 3 dituztenean txirrinak jo du eta jokoa eten egin behar izan dute.

Martxelek zera proposatu dio Erikari: “32 euroak lorturiko puntuen arabera banatuko ditugu, 4 € puntu bakoitzeko, 20 zuretzat eta 12 niretzat, ados?” 

Erika probabilitate klaseetan adi-adi egon denez, badaki proposamena ez dela justua eta ez du onartzen. Zergatik ez du onartu? Nola egin behar da banaketa?

(Problema hau Fibonaccik (1180-1250) proposatu zuen “Liber Abaci” liburuan eta Luca Paciolik (1445-1514) gaizki ebatzi zuen)

AZALPENA

Read More