PROBLEMA 5 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 5 (2018ko EPEa)

Hurrengo murrizketak emanda, Zein da zoriz aukeratutako puntu baten koordenatu biak positiboak izateko probabilitatea? Eta bi koordenatuak zenbaki osoak izateko?

1. Galdera

Emandako murrizketak planoko A eremu bat definitzen dute:

Koordenatu biak positiboak diren eremua A+ izendatuko dugu:

Homogeneotasun printzipioan oinarrituz, A eremu barruko Aⱼ azpimultzo bakoitzari bere azalarekiko proportzionala den probabilitatea esleitzen zaio; Hain zuzen ere:

P(Aⱼ)=Azalera Aⱼ/Azalera A=｜A｜/｜Aⱼ｜

Non A-ren probabilitatea P(A)=1 den. Probabilitatea esleitzeko modu hau banaketa uniforme izenez ezaguna da.

Orduan, zoriz aukeratutako puntu baten koordenatu biak positiboak izateko probabilitatea, bi eremu hauen azaleren arteko erlazioak ematen digu:

          P(x,y:+,+)=｜A+｜/｜A｜
                     bi koordenatuak +

Bi azalera hauek kalkulatzeko oinarrizko geometria eta kalkulu integrala erabiliko dugu:

Irudiko eremu triangeluarren azalerak oina·altuera/2:

y=4/x funtzioak Xardatzarekin x=1 eta x=2ren artean mugaturiko R barrutiaren azalera:

T₂ eremuan "y" ordenatua negatiboa da. P(x,y:+,+) bi koordenatuak positiboak izateko probabilitatea eta  P(x,y:+,-) "y" koordenatua negatiboa izateko probabilitatea izendatzeko erabiltzen badira, zera idatz daiteke:

P(x,y:+,+)=｜A+｜/｜A｜

edo

P(x,y:+,+)=1⎯P(x,y:+,⎯)=1⎯｜T₂｜/｜A｜

Hau da,

Edo zuzenean:

2. Galdera

Bi koordenatuak osoak izateko probabilitatea zero da; puntu multzo honen azalera (neurria) nulua delako; ez du ℜ² espazio euklidearreko A multzoaren barnean azalerarik mugatzen.

*****

Read More

PROBLEMA 4 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 4 (2018ko EPEa)

Edozein n zenbaki arruntarentzat An=2ⁿ+A²ⁿ+A³ⁿ definitzen da.   i. Frogatu n-ren balio guztientzat An+3 kongruente An ,       moduluz 7 dela.   ii. Aurkitu n-ren zein balioarentzat An 7 zenbakiaz       zatigarria den (erabili aurreko emaitza).

Gogora dezagun nola definitzen den Zenbaki-Teorian m modulodun (m∈𝐙, m≥1) kongruentzia:

a eta b bi zenbaki oso m moduluz kongruenteak dira, a≡b (mod. m), m modulua a-b diferentziaren zatitzailea bada, a-b=km k∈𝐙. Bestela esanda, m moduluaz zatituz hondar berdina ematen dutenean: a=k₁·m+r, b=k₂·m+r  eta  0≤r≤m-1

1.Atala

Emandako adierazpena, honela ere adieraz daiteke:

An+3 kongruente An, moduluz 7 da, baldin bien arteko diferentzia 7ren multiploa bada; hau da,

Hortaz,  edozein n arruntarentzat  An+3≡An (mod. 7)

Beste era honetan ere arrazoitu daiteke:

2-ren berreketen kongruentziak (7 moduluz) koadro honetan laburtuz,

Non kongruentzien propietateak erabili diren,

Bestetik, gogoratu m moduludun aritmetikan, a zenbaki osoak alderantzizkoa du baldin eta bakarrik soilik zkh(a,m)=1 bada.
     Orduan, a·b≡1 bada, a⁻¹=b eta b⁻¹=a 

Propietate hau honela aplikatu da,

2·4=8≡1 (mod. 7) denez, 2ren alderantzizkoa 2⁻¹=4 eta 4ren alderantzizkoa 4⁻¹=2

Azkenik, taulako azkenengo errenkadatik, honako ondoriora iristen gara:

An+3-An ≡0-0=0 (mod. 7) edo An+3-An ≡3-3=0 (mod. 7)


2.Atala

Aurreko ataletik zera ondorioztatu daiteke, An 7 zenbakiaz zatigarria da baldin n ez bada 3ren multiploa:

    An 7az zatigarria, baldin n≠3k non k∈𝐍

Edo, kongruentzien hizkuntza erabiliz, gauza bera dena:

     An 7az zatigarria, baldin n≡1 edo n≡2 (mod. 3)

*****

Read More

PROBLEMA 3 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 3 (2018ko EPEa)

ABC triangelu zorrotz baten altuerak H ortozentroan ebakitzen dira. Badakigu AB=CH dela. Zehaztu ∡BCA angeluaren balioa.

Triangelu zorrotza denez, atuerak triangeluaren barnealdean ebakitzen dira H ortozentroan. Honela, triangelua binaka antzekoak diren 6 triangelu zuzenetan banatuta geratzen da.

H erpinean, erpinez aurkako angeluak berdinak dituzten triangeluak antzekoak dira:

Metodo 1

CHA' eta ABC' triangelu zuzenetan oinarrizko erlazio trigonometrikoak aplikatuz:

   ➤CHA' triangeluan HA'=c·sin𝝰
   ➤ABA' triangeluan BA'=c·sin𝝰

Hemendik, BHA' triangelu zuzen isoszelea da (eta baita bere antzekoa den AHB' ere). Beraz, triangelu hauen angelu zorrotzak 𝞬=45ºkoak dira.


CAA' triangelu zuzenean (edo CBB' triangeluan), angelu zorrotzen batura 90º da:

(𝞪+𝞫)+𝞬=90º

𝞪+𝞫+45º=90º

𝞪+𝞫=45º

∡C=45º

 CAA' eta CBB' triangeluak ere zuzen isoszeleak dira.

Metodo 2

Beste era honetan ere ebatz dezakegu:

CHB' eta ABB' triangeluak kongruenteak dira , bi angelu eta bi angeluen arteko aldea berdinak direlako:

  ▷CH=AB=c hipotenusak luzera berekoak

  ▷𝞫 angelu zorrotza berdina 

  ▷Triangelu zuzenak direnez, baita beste angelu zorrotza

    ere berdina.

Ondorioz, BB'=B'C⇒CBB' triangelu zuzen isoszelea:

     tan(𝞪+𝞫)=tan(⦛C)=BB'/B'C=1⇒⦛C=45º

*****

Read More

PROBLEMA 2 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 2 (2018ko EPEa)

Izan bedi p zenbaki lehena. Zehaztu k∈𝚭 zenbaki oso guztiak: zenbaki oso ez negatiboa izateko.

Emandako adiezpena zenbaki oso ez negatiboa izan dadin, k²-kp zenbaki karratua a² izan behar da:

k zenbakia osoa izan dadin, beharrezko baldintza p²+4a² karratu perfektua izatea:

Kontuan izanik:
►b+2a⩾b-2a

►p lehena eta p² ren zatitzaileak: {1,p,p²} (zenbaki lehenen karratuek hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzte)

Honako bi kasu hauek ager daitezke:

Zenbaki lehen bikoiti bakarra dago p=2. Kasu honetan, p+1=3 bakoitia denez, (p+1)/2=3/2 ez litzateke osoa izango. Ondorioz, azkeneko bi soluzioak baztertu behar dira p=2 kasurako.

Laburtuz:

Problema PDFan:

*****

Read More

PROBLEMA 1 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 1 (2018ko EPEa)

Izan bedi koordenatu ardatzen alde positiboek eta  y = 2 cos x  kurbak, 0 ≤ x ≥ 𝜋/2 izanik, zehazten duten R eskualdea. Aurkitu a parametroaren balioa y = a sin x  kurbak R eskualdea azalera bereko bi zatitan banatzeko.

Koordenatu ardatzek eta y=2cosx funtzioak mugaturiko eskualdearen azalera 2 unitate karratukoa da,

y=asinx funtzioak aurreko eskualdea azalera bereko bi zati berdinetan banatzen du (zati bakoitzaren azalera 1 unitate karratukoa da)

y=2cosx eta y=asinx funtzioen arteko ekabi-puntua,

Ordenatuen ardatzak eta bi funtzio hauek [0,x₀] tartean definituriko eskualdearen azalera 1 da,

Identitate trigonometrikoak gogoratuz, sinua eta kosinua "a" parametroaren menpe adieraziko dugu (0 ≤ x ≥ 𝜋/2 kontuan izanik),

Azkenik, (I)an ordezkatuz,

Problema PDFan:

*****

Read More