1949. urtean Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) matematikari indiarrak 6174 zenbakiak bere baitan gordetzen zuen misterioa agerian utzi zigun, Harrezkero, zenbaki honek izen propioa du: Kaprekar konstantea.
7641 - 1467 = 6174
Propietate deigarri hori ez da gure protagonistak bere buruarekin duena bakarrik, lau zifrako beste zenbaki batzuekin gauza bera egiteko gai baita, hau da, zurrunbilo baten erdigunera eramaten ditu, ustekabean bera amaieran agertzeko.
Zifra guztiak berdinak ez dituen lau zifrako edozein zenbaki aukeratuko dugu. Zifra bateko, biko eta hiruko zenbakiak barne sartuko ditugu, ezkerrean hiru, bi eta zero bat jarrita, hurrenez hurren (adibidez: 0007, 0035 eta 0826). Guztira, 10000 - 10 = 9990 zenbaki daude.
Gure zenbakia aukeratu ondoren, honela jokatuko dugu:
1. Zifrak beheranzko ordenan berrantolatuko ditugu, ahalik eta zenbakirik handiena lortzeko.
2. Zifrak goranzko ordenean berrantolatuko ditugu, zenbakirik txikiena lortzeko.
3. Handienetik txikiena kenduko dugu gure bigarren zenbakia eraikitzeko.
4. 6174a agertzen bada, amaitu dugu, bestela, aurreko urratsak errepikatuko ditugu gure hirugarren zenbakia eraikitzeko.
5. Gehienez 7 urratsetan 6174 zenbakia agertuko da.
Ohar gaitezen lau zifrak berdinak izango balira urrats batean 0000ean amaituko genukeela.
Adibide 1: 3586
Adibide 2: 0035
Praktikatzeko, Miguel Retegik sortutako kalkulu-orri hau utziko dizuet. Lau zifrako zenbaki bat sartuko dugu banda berdean; lehenengo zutabean, programak zifrak beheranzko ordenan jarriko ditu; bigarrenean, goranzko ordenan; eta hirugarrenean, diferentzia kalkulatuko digu.
Ez al da harrigarria? Kaprekarren prozesuak, zazpi urrats edo gutxiagotan, 6174 nukleo edo puntu finkora garamatza. Horregatik, konstante hori zenbaki magiko eta misteriotsutzat hartzen da.
Kaprekar konstantea tresna didaktiko interesgarria izan daiteke. Lehen Hezkuntzan, kenketa lantzeko eta nork bere burua zuzentzeko balio diezaguke, baldin eta 6174a zazpi urrats edo gutxiagotan lortzen ez bada. Bigarren Hezkuntzan, prozesuaren barruan sar gintezke, zergatik funtzionatzen duen ikertzeko eta ustezko misterioa agerian uzten duen patroiren bat aurkitzeko.
Ondoren, problema berriro planteatuko dugu eta Kaprekar prozesuaren egiaztapen bat ematen saiatuko gara (azalpenak gazteleraz daude):
Demostración
Azken koadroan zifrak handienetik txikienera dituztenak aukeratu ditugu ordezkari gisa. Guztiak 6174 nukleora erortzen dira, gehienez 6 urratsetan. Enuntziatuaren baldintzak betetzen dituen lau zifrako edozein zenbaki lehen iterazioan zuzenean nukleora jausiko da edo taulako 30 zenbaki horietako batekin erlazionatuko da, hau da, taulako zenbakietako batean bihurtuko da, zifrak ordena berean edo beste edozein ordenatan dituela. Lehenengo diferentzia kalkulatu ondoren, prozesuak hurrengo eskeman agertzen diren bideetako bati jarraituko dio 6174ra iritsi arte. Azkenaurreko iterazioan bi kasu daude 8532 eta 7641, azken honetara doaz prozesuan Kaprekarren konstantearen zifrak edozein ordenetan erakusten dituzten zenbakiak, erdiko kasua izan ezik (6174).
Adibidez:
- Hasierako zenbakiaren zifrek zein baldintza egiaztatu behar dute lehenengo pausoan 6174 lortzeko? Eta bi pausotan? Eta hirutan?...
- Aztertu lau zifrak desberdinak eta bakoitiak dituzten zenbakiak. Zer ikusten duzu? Eta bikoitiak eta desberdinak?
- Zein zenbakiren multiploak dira Kaprekar prozesuan agertzen diren zenbakiak? Kenketa hurrengo adibidean bezala egiten baduzu, errazago ikusiko duzu. Zein zenbaki atera daiteke faktore komuna amaieran? Nola orokortu daiteke propietate hau?
- Bi zifrako zenbakiekin egon daiteke Kaprekar konstanterik? zergatik?
- Hiru zifrako Kaprekar konstantea 495 da, jarri adibide batzuk.
Amaitzeko, Derivando kanaleko Eduardo Saenz de Cabezonen bideoa uzten dizuet:
***
