y'(x)=y(x)-b(x) Ekuazio Diferentzialaren Soluzioa

Kalkulurik egin gabe eta funtzio deribagarriak eta hauen aplikazioak (gorakortasun-beherakortasuna eta maximo-minimoak) gogoratuz arrazona daitekeen problema polit bat doakizue. Ingurumen Zientziak ikasten dihardun ikasle batek proposatu zidan, matematikako azterketa batean azaldu omen zitzaion.

PROBLEMA

Ondorengo grafikan b(x) eta beste hiru funtzioen grafikak, u(x), v(x) eta w(x), azaltzen dira. Hauen artean bat baino ez da y'(x)=y(x)-b(x) ekuazio diferentzialaren soluzioa. Arrazoitu zein den eta zergaitik.

AZALPENA

Hona azalpen posible bat:

Bedi f funtzioa jarraia [a,b] tarte itxian eta deribagarria (a,b) tarte irekian; orduan, zera egiaztatzen da:

• Tarteko barneko puntuetan f' funtzio deribatuak balio positiboak hartzen baditu, f funtzioa (hertsiki) gorakorra da.
• Tarteko barneko puntuetan f' funtzio deribatuak balio negatiboak hartzen baditu, f funtzioa (hertsiki) beherakorra da.
• f funtzio deribagarriak x=c barneko puntuan mutur lokala badu (maximo edo minimo erlatiboa), f' funtzio deribatuaren balioa puntu horretan f'(c)=0 da.

Hauek kontuan izanik, u(x)-b(x); v(x)b(x); w(x)-b(x) kenketa-funtzioek [-1,5] tartean hartzen dituzten ikurrak ikertuko dira.

Funtzio bakoitzaren eta  b(x)-ren arteko diferentzien balioak "-", "+" edo "0" diren azterketa grafikoa (irudian) egin ondoren, y(x)=w(x)  ekuazio diferentzialaren soluzioa dela ondoriozta daiteke.

Bestetik, u(x) eta v(x) funtzioek ez dituzte aipatutako propietateak egiaztatzen:

• u(x) funtzioa (0,3) tartean gorakorra da, u(x)-b(x) negatiboa izanik.
• v(x) funtzioak ezkerrean beherakorra da, ordea, v(x)-b(x) positiboa.Era berean, (4,5)tartean gorakorra, v(x)-b(x) negatiboa izanik.
• 
  

*****