Zirkuluen Kolore-Kodea

Problema
 

Zuriz eta beltzez margotutako sei zirkulu marraztu ditugu lerrokatuta horizontalean eta diagonalean irudian erakusten den moduan. Errenkada bateko zirkuluen kolorea aukeratzeko erabili dugun araua aurreko errenkadaren menpekoa da solik.

Saia zaitez kolore-kodea aurkitzen eta erantzun galderei:

 

 

 

1. Nola margotu behar dira zazpigarren errenkadako zirkuluak?
2. Egon al daiteke zirkulu guztiak beltzak dituen errenkadarik?
3. Margotu 2015. errenkadako zirkuluak

 

************

 

 

 

Laguntza 

 

Pistatxo bat nahi baduzu sakatun hemen

 

 

Soluzioa

 

Ondorengo aurkezpenean azalpen bat:

 

 



 

************

Read More

Laukizuzenaren Barneko Hirukiak

Problema

ABCD laukizuzenaren AD aldea 2 cm.

FG, HI, JK eta LD segmentuak denak berdinak, 1 cm.

 

 

Zein da grisez margotutako zatiaren azalera?

Laguntza

 

Geogebraren laguntzaz argiago ikus daiteke lau hirukien azaleraren eta laukizuzenaren elementu baten arteko erlazioa:

Mugitu E puntua
 

http://tube.geogebra.org/student/m1175389

 

 

************

 

 

Read More

Zenbat zirkulu?

Irakasleak zenbait zirkulu marraztu zituen orri batean.
Ondoren, mahi gainean jarri zuen orria eta ikasle bati erakutsiz, honela galdetu zion,


Irakasleak: "Zenbat zirkulu daude?"

Ikasleak:    "Zazpi daude"

Irakasleak: "Oso ondo, erantzun zuzena"



Jarraian beste ikasle bati galdera bera egin zion,


Irakasleak: "Zenbat zirkulu daude?"

Ikasleak:    "Bost daude"

Irakasleak: "Hala da, zuzen erantzun duzu"

 

 

Nola? Hau buruhaustea!
Zenbat zirkulu marraztu zituen orrian irakasleak?

SOLUZIOA

Read More

Triangeluen azalerak konparatzen

Irudiko barneko triangeluaren aldeak bikoiztuz, kanpoko triangelua eraiki da:



 

AA1, BB1 eta CC1 zuzenkiak AB, BC eta CA segmentuen bikoitzak dira hurrenez hurren eta ABC triangeluaren azalera 1.

Zein da A1B1C1 triangeluaren azalera?

Ba al dago erlaziorik irudiko triangeluen azaleren artean?

Zein? Zergatik?

Egoera hobeto ikusteko eta ulertzeko, hona hemen Geogebrako appleta:

 

AZALPENA

Edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:

 

"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira"

 

Triangeluaren oina eta aurkako erpina lotzen dituen segmentua erdibidekoa (mediana) denean, azalera bereko bi triangelu izango ditugu (oinaren luzera eta altuera berberak).
Propietate hau irudiko triangeluetan aplikatzen bada:

Azalera A1B1C1 = 7·S  non S = azalera ABC

Ondorioz,

azalera ABC = S = 1 bada, orduan azalera A1B1C1 = 7

 

 

 

Read More

Ixabelen urtebetetze eguna

Anttonek eta Martinek oraintxe ezagutu dute Ixabel eta bere urtebetetze eguna noiz den jakin nahi dute.
Isabelek hamar aukera eman dizkie:

Maiatzaren 15a, 16a edo 19a.

Ekainaren 17a edo 18a.

Uztailaren 14a edo 16a.

Abuztuaren 14a, 15a edo 17a.

Ixabelek Anttoni urtebetetze hilabetea esan dio eta Martini eguna.

• Antton: Ez dakit noiz den Isabelen urtebetetzea, Martinek ere ez dakiela badakit.
 • Martin: Hasieran ez nekien noiz zen Isabelen urtebetetzea, baina orain badakit.
 • Antton: Orduan orain nik ere badakit.

Noiz da Ixabelen urtebetetze eguna?

SOLUZIOA

 

 

Oharra: Gaurkoa Asia eta Singapurren ospatu diren azkeneko olinpiadetan jarritako eta egun hauetan sare sozialetan oso ezaguna egin den problemaren euskal bertsioa da.



 

Read More

Zati berdinetan banatzen (I)

Irudian duzun laukia karratua da. Bertan 12 fitxa gorri ageri dira:

Ondoko hau proposatzen dizuet:

Banatu karratua lau zati berdinetan baldintza txiki bat egiaztatuz; zati bakoitzean 3 fitxa gorri (oso osorik) agertu behar dira.

SOLUZIOA

 

 

 

Read More

Triangelu gainjarrien problema

Bi triangelu ekilatero berdin, A1B1C1 (gorria) eta A2B2C2  (berdea), gainjartzen dira aldeak paraleloak izanik. Bien artean MNOPQR hexagonoa sortzen da (irudian urdinez):

Triangelu aldekideen aldea 6 cm-koa bada, zein izango da hexagonoaren perimetroa? Ba al dago erlazioren bat hirukien perimetroaren eta hexagonarenaren artean?

Erabili Geogebrako appleta probak egiteko eta egoera bisualizatu ahal izateko. A eta B puntuak mugituz aldatu hirukien posizioak eta irristailuaz aldeen luzera.
Ondoren, saia zaitez azalpen bat ematen. 


http://ggbtu.be/m718889




Azalpentxo bat
Irudian ikus daitekenez, hiruki aldekide berdea gorriaren gainean jartzerakoan barnealdeko azalera komunak hexagono bat  eratzen du.
Kanpokaldean sei triangelu aldekide agertzen zaizkigu eta aurkakoak kongruenteak dira: 

MN = MC1  eta RQ = RB1

MN+MR+RQ = C1B1 = "b" aldea

Hau da, hexagonoaren perimetro erdia hasierako triangeluen aldearen berdina da.  Beraz, hexagonoaren perimetroa aldearen bikoitza da edo perimetroaren bi herena:

PHexagonoa = 2·b = 2·P/3 = 12 cm

*****

Read More

Matemagiaz Blai (I)

Gaurkoan matemagiaz jantziko dut bloga. Ikasturte  honetan DBH 3ko Matematika Tailerrerako eta Matemagiaz Blai izenburupean prestatu eta erabili ditudan hainbat truku aurkeztu eta azalduko ditut datozen lerroetan. Nahiko ezagunak dira eta erraz topa daitezke Interneten erderazko bertsioan; zailago, ordez, euskaraz aurkitzea. Aurrerago, beste sarreraren bat gai honi ere eskainiko diot. Orduan, apunteak eskuragarri utziko ditut interesa duen edozeinek erabiltzeko edota moldatzeko.

Magiari lotuta matematika ugari aurki dezakegu; matematika arina, atsegina, erakargarria eta motibagarria. Hala ere, ez da erraza ikasle guztiak "sorgintzea" matemagiaz; matematika hitza usaintzen duten bezain pronto, nolabaiteko etsipen puntua antzematen baita zenbait ikasleengan. Gero, ohiko matematikako klase baten aurrean ez daudela ikusten dutenean, erlaxatu (larregi ere batzuk) egiten dira eta klasean giro ona sortzen da. 

Matematika egiten disfruta daitekeela ardatz hartuta, truku bakoitzean matematika agerian uztea da helburu nagusia; horrela, aurkeztu eta antzeztu ondoren, azalpen matematikoaren bila abiatzen gara. Truku askoren azalpena edo oinarri matematikoa nahiko erraza da, eta pista batzuk emanda ikasleak  gai izaten dira gutxi gorabehera trukuaren nondik norakoak bakarrik aurkitzeko.

   

Kartel Magikoa
 

• Zenbakizko taula bat erakutsiko dizut.
• Taulari bizkarra emanda nagoela, aukeratu 2x2ko karratu bat eta ezkutatu lau zenbakiak karratu gorriarekin.
• Aurrera begira jarriko naiz eta berehalakoan ezkutatu dituzun lau zenbakien batura esango dizut.
• Ez al da harrigarria?  

 
Nola? Buruz ikasita taulako zenbakiak? Dohain berezi baten jabe izango ote naiz?  Aparteko aztia, agian?
Matematikaz baliatuz, egiaztatu sasiazti ziztrin bat besterik ez naizela.

Azalpena:

Memoria Itzela

• Begiratu ondoko zenbakizko taula.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta nahi duen zenbakia tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira berehala asmatuko dut zenbakia
• Hau ere harrigarria, ezta?

Azalpena:
Oraingo honetan kode ezkutua apur bat zailagoa da:

• Lehenengo zutabeari 20 dagokio, bigarrenari 30, hirugarrenari 40 eta horrela jarraian.
• Errenkada bakoitzari errenkada zenbakia dagokio: lehenengoari 1, bigarrenari 2,...
• Adibidez, laugarren errenkada eta bostgarren zutabeko zenbakiaren kodea: 4 + 60 = 64

Kodea daukagunean, eragiketa hauek egin behar dira buruz zenbakia lortzeko:

1. 64ren zifrak batu:                           6+4=10
2. 64 bikoiztu:                                      2·64=128
3. 64ren zifren arteko kenketa:        6-4=2
4. 64ren zifrak biderkatu:                  6·4=24
5. Ondorioz, zenbakia:                        10128224

Jolastu lagunekin; baina, kontuan izan ahoz zuzenean esan baino errazago dela zenbakia idaztea eragiketak buruz egiten diharduzuen bitartean (poliki joan idazten lehenengo 10, jarraian 128 ondoren 2 eta bukaeran 24). Antzerki apur bat egin, zenbakia gogoratzeko ahaleginak egiten arituko bazina bezala.

Zutabeen Magia

• Begiratu beheko zenbakizko bi koadroak.
• A koadroko zenbaki bat aukeratu.
• Aukeratu duzun zenbakia zein zutabetan dagoen esan behar didazu.
• Jarraian, begiratu B koadroko zenbatgarren zutabean dagoen zenbakia.
• Esaten badidazu B-ko zutabea, zein zenbaki aukeratu duzun esango dizut.

Nola?  Aztertu ondo nola dauden kokatuta zenbakiak bi koadroetan eta ea asmatzen duzun ezkutuko kodea (pista: saia zaitez aurkitzen A-ko zutabe bakoitza B-n).

 



Azalpena:
Oso truku erraza, ezta? Hauxe da ezkutuko kodea:
A-ko lehenengo zutabeko elementu guztiak B-ko azkeneko errenkadan kokatu ditugu edozein ordenetan (ordenak ez du garrantzirik). Era berean, bigarren zutabekoak azken aurreko errenkadan eta horrela beste guztiak.
Adibidez, demagun 49 zenbakia aukeratu duzula. A-n 4.zutabean dagoela esaten didazunean B-n azpitik hasita 4. errenkada izango dut kontuan. Ondoren, B-ko 2. zutabekoa dela esatean, zein zenbaki den jakingo dut.

Memoria Miragarria

• Arbelean ondoko zenbakizko koadroa erakutsiko dizuet.
• Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
• Ikasle bat irtengo da eta zenbaki bat tapatuko du.
• Ondoren, koadroari begira jarrita berehala asmatuko dut zenbakia.

Memoria miragarria ala kode sekretua?
Ea oraingoan kodea asmatzen duzuen (Pistak: 5 eta diagonalak)

Orain zeuen txanda. Bete ezazue zenbakiz koadro hau zuek asmaturiko kode sekretua erabiliz:

Azalpena:
Aukeratutako zenbakiaren laukitik hasita beste lau lauki diagonalean kontatu ondoren, beste zenbaki bat izango dugu. Diagonalean gora mugitzen bagara, azkeneko zenbaki hau hasierako +5 eta diagonalean behera -5 izango da. 
Adibidez, demagun bostgarren errenkadako 16 aukeratu dugula:

Loturen zerrenda

Bukatzeko, Matematika edo Matematika Tailerrerako erabilgarriak izan daitezkeen Interneteko lotura batzuk uzten ditut. Material ugari eta oso ona dago:

• Matemagia enredadora
• Matemagia
• Magia y Matemáticas
• Automagia (P. Alegía/J.C. Ruiz de Arkaute)
• Matemágicas (interactivo)
• Magia por principios (Pedro Alegía)
• El rincón matemágico
• El País Matemáticas Mágicas
• Una matemática motivadora
• Códigos secretos y Teoría de la información en la magia (P. Alegría)
• La magia de los cuadrados mágicos (P. Alegría)
• Magia y agujeros negros(P. Alegría)
• La magia desvelada (P. Alegría)
• Juegos Matemáticos de Martin Gardner (Fernando Blasco)
• Entiendo el desorden (Carlos Vinuesa del Río)

Read More

Thalesen Teoremaren egiaztapen bat

Thales Miletokoa Antzinako Greziako filosofo eta matematikari ospetsua dugu, Greziako zazpi jakintsuetako bat da,  baina, paradogikoki, ezer gutxi dakigu bere bizitzari eta lanei buruz. K. A. 585. urteko eklipsea gertatu zenean Thalesek 40 bat urte zituela pentsatzen da; data hau erreferentzia moduan hartuta bere jaiotze- eta heriotza-datak kalkulatu dira.

Egiaztapenetan oinarritutako matematikari edo matematika deduktiboari hasiera eman zion lehena izan zen Thales. Bere ustez, baieztapen geometrikoak ezin ziren intuizio hutsez onartu , prozesu zehatz eta logiko baten ondorioz baizik. Thalesen egiaztapenak gure eskuetara iritsi ez badira ere, esandakoaren lekuko ondorengo teoremak ditugu (Thalesen teoremak):

• Zirkunferentzierdi batean inskribaturiko angelua zuzena da.
• Diametroak bi zati bertinetan banatzen du zirkulua.
• Triangelu isoszele baten oinarriko angeluak berdinak dira (oinarria desberdina den aldea izanik).
• Erpinez aurkako angeluak berdinak dira.
• Triangelu batean alde batekiko paraleloa den edozein zuzen marrazten bada, antzekoak diren bi triangelu lortzen dira.   

Teorema hauek ikasleen artean nahiko ezagunak badira ere, ez da horren ezaguna egilea edo egiletzat Thales hartzen dugula.

Azkeneko teoremaren aldaera bat edo ondorio bat da, gaur hemen enuntziatu eta egiaztatuko duguna. 

Thalesen Teorema

"Planoko edozein bi zuzen (r eta s) beren artean paraleloak diren zuzenen bidez ebakitzerakoan,  r eta s zuzenetan agertzen diren segmentu korrespondenteen luzerak proportzionalak dira".

Hau da:

Egiaztapena

Thalesen Teoremaren egiaztapena azaleraren kontzeptuan oinarrituko dugu; beraz, kontzeptu hau axiomatikoki definitutzat emango dugu.

Egiaztapenarekin hasi baino lehen beharrezkoak izango diren ondorengo bi emaitzak gogoratu behar ditugu,

1.- Oinarri eta altuera bereko triangeluek azalera berbera dute:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/128777

2.- Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/135144

ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2

DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2

Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,

S'' / b2 = S' / b1 

Beraz,

S'' / S' = b2 / b1

Azkenik, hona hemen egiaztapenaren appleta:

http://tube.geogebra.org/material/show/id/135402

(Mikel Retegiren laguntzarekin egindako appletak. Mila esker)

Read More

Problema Geometrikoen Ebazpena (Azalerak)

Azaleren kalkuluan formulen aplikazio hutsa ez da beti biderik errezena eta laburrena izaten, ezta egokiena ere zenbait kasutan. Problema zatitzea eta zatiak konparatzea moduko teknikak eguneroko bizitza arruntean erabiltzen ditugu, eta oso estrategia lagungarriak dira hainbat objekturen azalera kalkulatu behar dugunean.

Ondoren datozen jardueretan horixe egin beharko duzu, problema zatitu, zatiak konparatu eta berriz konposatu, eskatzen diren azalerak modu erraz batean kalkula ahal izateko.

Sakatu loturan edo irudiaren gainean:
.

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nz5pgs5w8le0

 

 

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?nz5pi7ny8le0

 

 

 

Goian proposaturiko problemak olinpiada matematikoetan azaldutakoak dira:

• Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton" (problemas)
• Euskadiko Olimpiada Matematikoa "Eduardo Chillida" (problemak)

 

Read More