Bihar asteazkena, hilak 23, "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" tutorizatzen dudan ikastaroa hasiko da.
Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.
Bereizketa egingo dugu ariketak eta problemen artean.
Ariketak, ohi denez, testu liburuetan gai baten amaieran agertzen dira aurretik gaiaren garapenean ikasitako hainbat algoritmo praktikatzeko. Helburua prozedura eta mekanismo hutsak aplikatzean datza; beraz, argi eta garbi dago zer egin behar den ebazteko. Egoera itxiak aurkezten ohi dituzte eta ez diote sormenari lekurik egiten.
Problemen ezaugarriak, aldiz, oso bestelakoak dira. Benetako problema bat, erronka bat da, desafio bat; hasiera batean zer egin behar den badakigu, baina ez dakigu nola. Problema hauek egoera irekiak aurkezten ohi dituzte. Sormenak eta albo-pentsamentuak berebiziko garrantzia izaten dute. Hainbat estrategia erabiltzera bultzatu eta gure ezagupenetan eta esperientzietan sakontzera eramaten gaituzte; goi mailako konpetentziak garatzen dituzte.
Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da.
George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta.
Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da.
Ongietorri guztioi
PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN
"Matematikako problemak ebaztea baino atseginagoa da problemak proposatzea"
George Cantor
"Matematikaria izatearen arrazoi nagusia problemak proposatzea eta ebaztea da; problemen ebazpena Matematikaren bihotza baita"
P. R. Halamos
BIDEOAK
Jakina denez, teknologia berriek denbora bat, sarri nahiko luzea, behar izaten dute gure artean ezartzeko eta ohiko baliabide bihurtzeko. Hasiera batean urduritasuna eta mesfidantza sortarazten digute, gehienbat ohitura eta trebetasun faltagatik. Baina, irrifartsu eta umore onez aurrera egin behar da. Ikus dezagun egoera horren parodia moduko bat, "Pergaminotik liburura" bideoa:
Oraingoan sorginkeri matematikoak. Arthur Benjaminek Sorgintzen gaitu Fibonacciren zenbakiekin.
(Oharra: Azpitituluak ikusteko, bideoaren behekaldean arratoia jarri, sakatu engranaje itxura duen irudia eta aukeratu hizkuntza)
Dan Meyerrek matematikaren irakaskuntzak irudi aldaketaren beharra duela dio.
Jose Angel Murcia (Tocamates bloga), "Me gustan los problemas"
Adrián Paenza, "El placer de tener un problema no resuelto en la cabeza"
Gaurko problema Adrian Paenza matematikari eta kazetari argentinarrak proposatu zuen "Científicos Industria Argentina" telebistako programan. Buruari apurtxo bat eraginez eta diagrama edo irudi baten laguntzaz erraz bideratzen den horietakoa da.
Honela dio:
Demagun sei solairutako eraikin baten atarian gaudela igogailua hartzeko zain solairu guztiak ikusteko asmoarekin. Igogailua nahiko bitxia da, ez da banan-banan eta ordenean pisu guztietan gelditzen; goranzkoan zein beheranzkoan, 3ko edo 5ko igoerak eta jaitsierak egiten ditu. Adibidez, beheko solairutik 3. edo 5. pisura mugi daiteke; 3.tik beheko solairua; 5.tik 2.ra edo 0.ra; etabar.
Igogailuak ematen dituen aukerak konbinatuz, bururatzen al zaizu estrategiaren bat beheko solairutik abiatuta pisu guztietan gelditzeko? Eta igoera-jaitsierak 2 edo 4koak balira? Problemaren planteamendua Adrian Paenzaren eskutik beheko bideoan,
2007an estreinatu zen Luis Piedrahitak eta Rodrigo Sopeñak zuzenduriko "La Habitación de Fermat", intriga eta matematika era erakargarrian uztartzen dituen pelikula. Erreferentzia matematiko ugari eta logikazko hainbat problema edo enigma klasiko agertzen zaizkigu filmaren zehar.
Ozpe handiko lau matematikari, Galois, Hilbert, Oliva Sabuco eta Pascal ezizenekin, goi mailako matematikarien bilera batera gonbidatuak izan ondoren, gela batean giltzapetuta geratuko dira. PDA baten bitartez zenbait problema proposatuko zaizkie eta minutu bat izango dute erantzuna aurkitzeko; erantzun zuzena aurkitu bitartean, gela tamainaz txikiagotzen joango da. Gelatik bizirik irtetzea, protagonistek problemak ebazten erakusten duten trebetasunaren menpe egongo da.
Matematikaren aurpegi motibagarria agerian uzteko baliabide didaktiko paregabea da "La Habitación de Fermat"; ikasleen arreta gureganatzen eta problemen ebazpena erakargarriago bihurtzen laguntzen digu.
Ikasturte honetan Matematika Tailerrari hasiera emateko pelikula hau ikusi dugu eta bertan proposatzen diren problemen ebazpenari gogoz ekin diogu; interesa eta motibazioa piztu da ikasleen artean.
Jarraian, problemak edota enigmak doazkizue:
PROBLEMA 1 "Zenbaki segida"
Zein da hurrengo segida eratzeko erabilitako legea?
1 - 9 - 2 - 5 - 3 - 4 - 6 - 7 - 8
PROBLEMA 2 "Artzaina, aza, otsoa eta ardia"
Artzain batek ibaia
zeharkatu behar du txalupa batean. Berarekin batera ardi, otso eta
aza bat eraman behar ditu. Txalupa txikia da, artzaina eta beste bat baino ez dira sartzen bidaia bakoitzean (artzaina eta ardia, artzaina eta aza edo artzaina eta otsoa).
Bestetik, otsoak ardia jango du artzainak bakarrik uzten baditu eta, era berean, ardiak aza artzaina aurrez aurre ez badago. Nola zeharka dezake ibaia ardiak aza jan ez dezan eta otsoak ardia?
Gozoki dendako arduradunak hiru kaxa jaso ditu. Kaxa batek mentazko
karameloak ditu, beste batek anisezkoak eta hirugarrenak nahasketa (mentazkoak
eta anisezkoak nahastuta). Kaxa bakoitzak etiketa bat du: “Mentazko
karameloak”, “Anisezko karameloak” eta “Nahastutako
karameloak”. Dendariak mezu bat jaso du hiru kaxak gaizki daudela
etiketatuta esanez.
Gutxienez zenbat karamelo atera behar du gozo-saltzaileak kaxa
bakoitzaren edukia zein den jakiteko? Azaldu.
Itxita dagoen gela baten barruan bonbilla
bat dago eta kanpoan hiru etengailu. Etengailu batek bakarrik pizten du
bonbilla.
Atea itxita dagoen bitartean, nahi duzun
etengailua eta nahi beste aldiz sakatu dezakezu, baina atea zabaltzen duzunean
erabaki behar duzu etengailuak ukitu gabe bonbilla zeinek pizten duen.
PROBLEMA 5 "Ordularia"
Hondarrezko bi ordulari ditugu. Batek 4 minutu irauten du eta besteak 7.
9 minutu neurtu nahi ditugu.
Nola lor dezakegu 9 minutu neurtzea bi ordulariak erabiliz?
PROBLEMA 6 "Irakaslearen alabak"
Ikasle batek matematikako irakaslearen hiru alaben adina jakin nahi zuen. Behin, problemak ebazten zihardutela, Irakasleak honela esan zion ikasleari: -Nire hiru alaben adinen biderkadura 36 da eta batura gure ikastetxe aurrean ikusten duzun etxearen zenbakia. - Datu bat falta zait- ikasleak erantzun zion. - Egia da, zaharrenak pianoa jotzen du- irakasleak berriz. Zeitzuk dira alaben adinak?
PROBLEMA 7 "Bi ateak"
Preso zauden gelatik irteteko bi ate daude. Bietatik bat askatasunaren atea da. Ate bakoitzean zaindari bana dago. Zaindari batek egia esaten du beti eta besteak gezurra; baina, ez dakizu gezurtia nor den. Galdera bakar bat egin diezaiokezu zaindari bati askatasunaren atea zein den jakiteko. Ze galdera?
PROBLEMA 8 "Adin kontua"
Ama bat
bere semea baino 21 urte zaharragoa da. 6 urte barru amaren adina bost aldiz
semearenarena izango da. Zertan dihardu aitak?
PROBLEMA 9 "Kode sekretua"
Zein da kode honek ezkutatzen duen irudia?
Ondorengo txostenean problema guztiak bilduta doaz, filmeko protagonistek emandako azalpenen bideoen loturekin batera.
AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.
Zein da AB segmentuaren luzera?
Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?
Zuriz eta beltzez margotutako sei zirkulu marraztu ditugu lerrokatuta horizontalean eta diagonalean irudian erakusten den moduan. Errenkada bateko zirkuluen kolorea aukeratzeko erabili dugun araua aurreko errenkadaren menpekoa da solik.
Saia zaitez kolore-kodea aurkitzen eta erantzun galderei:
Nola margotu behar dira zazpigarren errenkadako zirkuluak?
Egon al daiteke zirkulu guztiak beltzak dituen errenkadarik?
Irudiko barneko triangeluaren aldeak bikoiztuz, kanpoko triangelua eraiki da:
AA1, BB1 eta CC1 zuzenkiak AB, BC eta CA segmentuen bikoitzak dira hurrenez hurren eta ABC triangeluaren azalera 1.
Zein da A1B1C1 triangeluaren azalera?
Ba al dago erlaziorik irudiko triangeluen azaleren artean?
Zein? Zergatik?
Egoera hobeto ikusteko eta ulertzeko, hona hemen Geogebrako appleta:
AZALPENA
Edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:
"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira"
Triangeluaren oina eta aurkako erpina lotzen dituen segmentua erdibidekoa (mediana) denean, azalera bereko bi triangelu izango ditugu (oinaren luzera eta altuera berberak). Propietate hau irudiko triangeluetan aplikatzen bada:
Azalera A1B1C1 = 7·S non S = azalera ABC
Ondorioz,
azalera ABC = S = 1 bada, orduan azalera A1B1C1 = 7
Anttonek eta Martinek oraintxe ezagutu dute Ixabel eta bere urtebetetze eguna noiz den jakin nahi dute. Isabelek hamar aukera eman dizkie:
Maiatzaren 15a, 16a edo 19a.
Ekainaren 17a edo 18a.
Uztailaren 14a edo 16a.
Abuztuaren 14a, 15a edo 17a.
Ixabelek Anttoni urtebetetze hilabetea esan dio eta Martini eguna.
• Antton: Ez dakit noiz den Isabelen urtebetetzea, Martinek ere ez dakiela badakit. • Martin: Hasieran ez nekien noiz zen Isabelen urtebetetzea, baina orain badakit. • Antton: Orduan orain nik ere badakit.
Oharra: Gaurkoa Asia eta Singapurren ospatu diren azkeneko olinpiadetan jarritako eta egun hauetan sare sozialetan oso ezaguna egin den problemaren euskal bertsioa da.
Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.
Demagun sei solairutako eraikin baten atarian gaudela igogailua hartzeko zain solairu guztiak ikusteko asmoarekin. Igogailua nahiko bitxia da, ez da banan-banan eta ordenean pisu guztietan gelditzen; goranzkoan zein beheranzkoan, 3ko edo 5ko igoerak eta jaitsierak egiten ditu. Adibidez, beheko solairutik 3. edo 5. pisura mugi daiteke; 3.tik beheko solairua; 5.tik 2.ra edo 0.ra; etabar. 
-Nire hiru alaben adinen biderkadura 36 da eta batura gure ikastetxe aurrean ikusten duzun etxearen zenbakia.
Preso zauden gelatik irteteko bi ate daude. Bietatik bat askatasunaren atea da. Ate bakoitzean zaindari bana dago. Zaindari batek egia esaten du beti eta besteak gezurra; baina, ez dakizu gezurtia nor den. Galdera bakar bat egin diezaiokezu zaindari bati askatasunaren atea zein den jakiteko. Ze galdera?
Irakasleak: "Zenbat zirkulu daude?"
