Marraztu orri batean nahi beste zuzen; argi dago,zuzen kopuru finitoa izango dugula. Adibidez,
Hainbat eskualdetan geratu da banatu orria. Mapa baten antzera eskualde bakoitza herrialde bat da. Bi kolore (gorria eta berdea) erabiliko ditugu mapa hau koloreztatzeko, baina baldintza bati jarraituz: muga zati bat (puntu bat ez da muga zatia) partekatzen duten herrialdeen kolorea desberdina izatea nahi da. Gure adibidean, margotzeko era bat da ondorengoa,
Kasu honetan soluzio bat aurkitu dugu. Baina herrialde kopurua edozein izanda ere:
Posiblea al da margotzea jarritako baldintza errespetatuz?
Nola?
Baiezko kasuan, bururatzen al zaizu estrategia edo prozedura bat, pausoz-pausoz jarraituta helburua lortzea ahalbideratuko duena?
Odoren proposatzen den problema benetan ederra da, daturen bat falta zaigularen sentsasioa uzten diguten horietakoa da. Baina ez, behar diren datu guztiak agertzen dira. Ez da ahaztu behar zenbait egoeratan, datu batzuk deduzitu behar direla aurretik lorturiko informaziotik.
Problema
Demagun bi lagunen aurrean nagoela, Martin eta Ixabel. Joko bat proposatuko diet: Martini ahopean zenbaki sekretu bat esango diot eta, ondoren, beste bat Ixabeli. Jarraian, bi zenbaki esango ditut ozenki: bata bi lagunei esandako zenbakien batura eta bestea ausaz aukeratutako bat (biak edozein ordenetan esanda).
Helburua: batak bestearen zenbaki sekretua asmatzea.
Nola?
Adibidez: demagun Martini 20 esan diodala belarrira eta Ixabeli beste zenbaki bat.
Ozenki 23 eta 30 esango dut.
Hasiko gara Martinekin, honela galdetuz: zein da Ixabeleren zenbakia? Honek, ez dakiela erantzuten du, ezin duelako erabaki 3 eta 10ren artean. Orain, Ixabelen txanda da: zein da Martinen zenbakia? Baina Ixabelek ere ez dakiela dio. Ondoren, berriz ere Martini galdetzen diogu, eta 10 dela erantzuten du.
Nola?
Nola jakin du Martinek Ixabelen zenbaki sekretua 10 dela?
Bankuko zuzendariak txanponez betetako bost kutxa jaso ditu gaur goizean. Txanpon guztiak balio berekoak dira eta bakoitzak 10 gramoko pisua du.
Bat-batean dei bat jaso du zentraletik kutxa batek txanpon faltsuak dituela esanez. Kutxa faltsuko txanponak 11 gramokoak dira.
Zuzendaria langilei problemak proposatzea izugarri gustatzen zaio eta oraingoan ere ez du aukerarik galdu. Kutxazainari gertatutakoa azaldu eta gero, honela esan dio: "Pisaldi bakarrarekin esaten badidazu zein den kutxa faltsua aste beteko oporraldia izango duzu opari". Lagundu esaiozu kutxazainari 11 gramoko txanponak dituen kutxa aurkitzen pisua behin bakarrik erabiliz.
Ondorengo problema adin guztietarako da. Eskolan, etxean edota kalean ebaz daiteke. Ez da behar ezagupen matematikorik; jakin behar den gauza bakarra da dado arrunt batek egiaztatzen duen propietatea. Zen propietate? Hartu dado bat eta aztertu aurkako aldeak (kalkulatu aurkako aldeetan dauden puntuen batura), zenbatekoa da batura hau?
Problema
Janina denez, dado baten aurkako aurpegien puntuen batura zazpi da; proietate hau kontuan izanik, beheko zein eredurekin eraiki daiteke dado arrunta?
Problema hau manipulagarria da. Lehen hezkuntzako eta DBH-ko lehenengo zikloko ikasleek eraiki ditzatela bost dadoak kartulinaz. Ondoren, dado arrunt batekin konparatzea besterik ez.
Bihar asteazkena, hilak 23, "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" tutorizatzen dudan ikastaroa hasiko da.
Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.
Bereizketa egingo dugu ariketak eta problemen artean.
Ariketak, ohi denez, testu liburuetan gai baten amaieran agertzen dira aurretik gaiaren garapenean ikasitako hainbat algoritmo praktikatzeko. Helburua prozedura eta mekanismo hutsak aplikatzean datza; beraz, argi eta garbi dago zer egin behar den ebazteko. Egoera itxiak aurkezten ohi dituzte eta ez diote sormenari lekurik egiten.
Problemen ezaugarriak, aldiz, oso bestelakoak dira. Benetako problema bat, erronka bat da, desafio bat; hasiera batean zer egin behar den badakigu, baina ez dakigu nola. Problema hauek egoera irekiak aurkezten ohi dituzte. Sormenak eta albo-pentsamentuak berebiziko garrantzia izaten dute. Hainbat estrategia erabiltzera bultzatu eta gure ezagupenetan eta esperientzietan sakontzera eramaten gaituzte; goi mailako konpetentziak garatzen dituzte.
Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da.
George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta.
Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da.
Ongietorri guztioi
PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN
"Matematikako problemak ebaztea baino atseginagoa da problemak proposatzea"
George Cantor
"Matematikaria izatearen arrazoi nagusia problemak proposatzea eta ebaztea da; problemen ebazpena Matematikaren bihotza baita"
P. R. Halamos
BIDEOAK
Jakina denez, teknologia berriek denbora bat, sarri nahiko luzea, behar izaten dute gure artean ezartzeko eta ohiko baliabide bihurtzeko. Hasiera batean urduritasuna eta mesfidantza sortarazten digute, gehienbat ohitura eta trebetasun faltagatik. Baina, irrifartsu eta umore onez aurrera egin behar da. Ikus dezagun egoera horren parodia moduko bat, "Pergaminotik liburura" bideoa:
Oraingoan sorginkeri matematikoak. Arthur Benjaminek Sorgintzen gaitu Fibonacciren zenbakiekin.
(Oharra: Azpitituluak ikusteko, bideoaren behekaldean arratoia jarri, sakatu engranaje itxura duen irudia eta aukeratu hizkuntza)
Dan Meyerrek matematikaren irakaskuntzak irudi aldaketaren beharra duela dio.
Jose Angel Murcia (Tocamates bloga), "Me gustan los problemas"
Adrián Paenza, "El placer de tener un problema no resuelto en la cabeza"
Gaurko problema Adrian Paenza matematikari eta kazetari argentinarrak proposatu zuen "Científicos Industria Argentina" telebistako programan. Buruari apurtxo bat eraginez eta diagrama edo irudi baten laguntzaz erraz bideratzen den horietakoa da.
Honela dio:
Demagun sei solairutako eraikin baten atarian gaudela igogailua hartzeko zain solairu guztiak ikusteko asmoarekin. Igogailua nahiko bitxia da, ez da banan-banan eta ordenean pisu guztietan gelditzen; goranzkoan zein beheranzkoan, 3ko edo 5ko igoerak eta jaitsierak egiten ditu. Adibidez, beheko solairutik 3. edo 5. pisura mugi daiteke; 3.tik beheko solairua; 5.tik 2.ra edo 0.ra; etabar.
Igogailuak ematen dituen aukerak konbinatuz, bururatzen al zaizu estrategiaren bat beheko solairutik abiatuta pisu guztietan gelditzeko? Eta igoera-jaitsierak 2 edo 4koak balira? Problemaren planteamendua Adrian Paenzaren eskutik beheko bideoan,
2007an estreinatu zen Luis Piedrahitak eta Rodrigo Sopeñak zuzenduriko "La Habitación de Fermat", intriga eta matematika era erakargarrian uztartzen dituen pelikula. Erreferentzia matematiko ugari eta logikazko hainbat problema edo enigma klasiko agertzen zaizkigu filmaren zehar.
Ozpe handiko lau matematikari, Galois, Hilbert, Oliva Sabuco eta Pascal ezizenekin, goi mailako matematikarien bilera batera gonbidatuak izan ondoren, gela batean giltzapetuta geratuko dira. PDA baten bitartez zenbait problema proposatuko zaizkie eta minutu bat izango dute erantzuna aurkitzeko; erantzun zuzena aurkitu bitartean, gela tamainaz txikiagotzen joango da. Gelatik bizirik irtetzea, protagonistek problemak ebazten erakusten duten trebetasunaren menpe egongo da.
Matematikaren aurpegi motibagarria agerian uzteko baliabide didaktiko paregabea da "La Habitación de Fermat"; ikasleen arreta gureganatzen eta problemen ebazpena erakargarriago bihurtzen laguntzen digu.
Ikasturte honetan Matematika Tailerrari hasiera emateko pelikula hau ikusi dugu eta bertan proposatzen diren problemen ebazpenari gogoz ekin diogu; interesa eta motibazioa piztu da ikasleen artean.
Jarraian, problemak edota enigmak doazkizue:
PROBLEMA 1 "Zenbaki segida"
Zein da hurrengo segida eratzeko erabilitako legea?
1 - 9 - 2 - 5 - 3 - 4 - 6 - 7 - 8
PROBLEMA 2 "Artzaina, aza, otsoa eta ardia"
Artzain batek ibaia
zeharkatu behar du txalupa batean. Berarekin batera ardi, otso eta
aza bat eraman behar ditu. Txalupa txikia da, artzaina eta beste bat baino ez dira sartzen bidaia bakoitzean (artzaina eta ardia, artzaina eta aza edo artzaina eta otsoa).
Bestetik, otsoak ardia jango du artzainak bakarrik uzten baditu eta, era berean, ardiak aza artzaina aurrez aurre ez badago. Nola zeharka dezake ibaia ardiak aza jan ez dezan eta otsoak ardia?
Gozoki dendako arduradunak hiru kaxa jaso ditu. Kaxa batek mentazko
karameloak ditu, beste batek anisezkoak eta hirugarrenak nahasketa (mentazkoak
eta anisezkoak nahastuta). Kaxa bakoitzak etiketa bat du: “Mentazko
karameloak”, “Anisezko karameloak” eta “Nahastutako
karameloak”. Dendariak mezu bat jaso du hiru kaxak gaizki daudela
etiketatuta esanez.
Gutxienez zenbat karamelo atera behar du gozo-saltzaileak kaxa
bakoitzaren edukia zein den jakiteko? Azaldu.
Itxita dagoen gela baten barruan bonbilla
bat dago eta kanpoan hiru etengailu. Etengailu batek bakarrik pizten du
bonbilla.
Atea itxita dagoen bitartean, nahi duzun
etengailua eta nahi beste aldiz sakatu dezakezu, baina atea zabaltzen duzunean
erabaki behar duzu etengailuak ukitu gabe bonbilla zeinek pizten duen.
PROBLEMA 5 "Ordularia"
Hondarrezko bi ordulari ditugu. Batek 4 minutu irauten du eta besteak 7.
9 minutu neurtu nahi ditugu.
Nola lor dezakegu 9 minutu neurtzea bi ordulariak erabiliz?
PROBLEMA 6 "Irakaslearen alabak"
Ikasle batek matematikako irakaslearen hiru alaben adina jakin nahi zuen. Behin, problemak ebazten zihardutela, Irakasleak honela esan zion ikasleari: -Nire hiru alaben adinen biderkadura 36 da eta batura gure ikastetxe aurrean ikusten duzun etxearen zenbakia. - Datu bat falta zait- ikasleak erantzun zion. - Egia da, zaharrenak pianoa jotzen du- irakasleak berriz. Zeitzuk dira alaben adinak?
PROBLEMA 7 "Bi ateak"
Preso zauden gelatik irteteko bi ate daude. Bietatik bat askatasunaren atea da. Ate bakoitzean zaindari bana dago. Zaindari batek egia esaten du beti eta besteak gezurra; baina, ez dakizu gezurtia nor den. Galdera bakar bat egin diezaiokezu zaindari bati askatasunaren atea zein den jakiteko. Ze galdera?
PROBLEMA 8 "Adin kontua"
Ama bat
bere semea baino 21 urte zaharragoa da. 6 urte barru amaren adina bost aldiz
semearenarena izango da. Zertan dihardu aitak?
PROBLEMA 9 "Kode sekretua"
Zein da kode honek ezkutatzen duen irudia?
Ondorengo txostenean problema guztiak bilduta doaz, filmeko protagonistek emandako azalpenen bideoen loturekin batera.
AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.
Zein da AB segmentuaren luzera?
Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?
.png)
