Txanponak, bolak eta probabilitatea

Orain probabilitateko problemak. Ez dira batere intuitiboak:


 PROBLEMA 1

Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apostua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela. 

Zer da probableagoa ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?

PROBLEMA 2
 
Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:

Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?

PROBLEMA 3

5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:

Nola egin behar da bolen banaketa? 

Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?

Read More

Zenbakiekin jolasten

Hona hemen hiru problema, olinpiadak prestatzeko erabiltzen diren modukoak. Ea aurkitzen duzun estrategia egoki bat ebazteko:


 PROBLEMA 1

1tik 10ra zenbaki guztiak idatzi ondoren, (+) ikur positiboak eta (-) negatiboak idatzi ditugu zenbakien artean.
Ba al dago ikurren konbinazioren bat eragiketak egin ondoren bukaerako emaitza 0 izan dadin?

PROBLEMA 2

1, 2, 3, 4,..., 99, 100, 101 zenbaki arrunten zerrenda ordenatua idatzi dugu arbelean. "+" eta "-" ikurrak banatuko ditugu zenbakien artean. Ondoren eragiketak egingo ditugu.
Posiblea al da azkeneko emaitza 0 izatea? 

PROBLEMA3

17 zifrako zenbaki bat idatzi dugu; zifren ordena aldatu eta gero, bigarren zenbakia lortzen da. 
Bi zenbakiok batu badira, egiaztatu batuketaren emaitzak gutxienez digitu bikoiti bat izango duela.

Read More

Galdutako zenbakiaren bila

Oraingo honetan ere, Adrián Paenzak proposatutako problematxo batekin gatoz.

Ondoko zerrendan, zenbaki bat galdu zaigu. Jarri martxan zeure detektibe sena, galdutako zenbakia ager araziko digun erlazioa aurkitzeko.

Zein da galdera ikurraren lekuan doan zenbakia?

Zergatik?

SOLUZIOA

*****

Read More

Beti irabazteko estrategia

Ondoren estrategiazko problema bat doakizue; Adrian Paenzarena da, bere dibulgazio liburuetan proposatutakoa. Ez da matematikako ezagutza berezirik behar; apur bat pentsatu, besterik ez! Adin guztientzat.

           

  

 
Mahai angeluzuzen baten inguruan eserita dauden bi lagunek txandaka txanponak mahai gainean ipiniko dituzte, mahaiko taula bete arte. Jokuaren arauak hauxek dira:

• Txanpon guztiak berdinak dira; demagun euro batekoak.
• Txanda duen lagunak txanpon bat ipiniko du mahai gainean, baina jarrita dauden txanponak zapaldu edo gainjarri gabe;bai ordea ertzak ikutuz.

• Hegaletan ipinitako txanponak ez dira zertan guztiz mahaiaren gainean egon behar, orekan badaude nahiko.

• Bere txandan, txapona jartzeko lekurik ez duena galtzailea izango da.

 
Baldintza hauek kontuan izanik, zu izango bazina lehenengo txanpona ipintzen duena, bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko, aurkariak edozer estrategia erabilita ere?

*****

Read More

Laukizuzenaren azalera

Irudiko laukizuzenaren AC diagonalaren gainean P eta Q puntuak aukeratu dira, halako moldez non AQ = QP = PC = 1 egiaztatzen den. AQD eta BPC triangeluak zuzenak dira.

Zein da ABCD laukizuzenaren azalera?

SOLUZIOA

*****

Read More

Pisaldi bakarra II

Aurreko eguneko problema batean gure herriko bankuko zuzendaria ezagutu genuen (Pisaldi bakarra I). 

Orduko hartan larri zebilen jasotako bost kutxetatik batek txanpon faltsuak zituelako. 

Oraingo honetan ere estu eta larri dabil. Beste bost kutxa jaso ditu, baina oraingoan deitu diote esanez ez dakitela zenbat kutxa faltsu dauden ( 0, 1, 2, 3, 4 edo 5). 

Gogoratu, benetako txanponak 10 gramokoak eta kutxa faltsuetan dauden txanpon guztiak 11 gramokoak direla.

Berriz ere, kutxazainarengana hurbilduz honela esan dio:

"Pisaldi bakarrarekin esaten badidazu zeintzuk diren kutxa faltsuak, bi aste beteko oporraldia eta paga berezia izango duzu opari"

Lagundu iezaiozu kutxazainari txanpon faltsuak dituzten kutxak aurkitzen 


Oharra: pisaldi bakarrarekin zera esan nahi dugu, behin bakarrik erabili dezakegula pisua. Aurretik nahi dena egin daiteke, baina pisaldi bakar bat; pisu digitala da eta behin bakarrik irakurriko dugu pantailan agertzen den zenbakia. Bestetik, kutxak txanponez goraino beteta daude.

SOLUZIOA 

***** 

Read More

Bi koloreen problema

Marraztu orri batean nahi beste zuzen; argi dago,zuzen kopuru finitoa izango dugula. Adibidez,

Hainbat eskualdetan geratu da banatu orria. Mapa baten antzera eskualde bakoitza herrialde bat da. Bi kolore (gorria eta berdea) erabiliko ditugu mapa hau koloreztatzeko, baina baldintza bati jarraituz: muga zati bat (puntu bat ez da muga zatia) partekatzen duten herrialdeen kolorea desberdina izatea nahi da.

Gure adibidean, margotzeko era bat da ondorengoa,

Kasu honetan soluzio bat aurkitu dugu. Baina herrialde kopurua edozein izanda ere:

Posiblea al da margotzea jarritako baldintza errespetatuz? 

Nola?

Baiezko kasuan, bururatzen al zaizu estrategia edo prozedura bat, pausoz-pausoz jarraituta helburua lortzea ahalbideratuko duena?

AZALPENA

Read More

Zenbakia deduzituz

Odoren proposatzen den problema benetan ederra da, daturen bat falta zaigularen sentsasioa uzten diguten horietakoa da. Baina ez, behar diren datu guztiak agertzen dira. Ez da ahaztu behar zenbait egoeratan, datu batzuk deduzitu behar direla aurretik lorturiko informaziotik.

Problema

Demagun bi lagunen aurrean nagoela, Martin eta Ixabel. Joko bat proposatuko diet: Martini ahopean zenbaki sekretu bat esango diot eta, ondoren, beste bat Ixabeli. Jarraian, bi zenbaki esango ditut ozenki: bata bi lagunei esandako zenbakien batura eta bestea ausaz aukeratutako bat (biak edozein ordenetan esanda).

Helburua: batak bestearen zenbaki sekretua asmatzea.

Nola?

Adibidez: demagun Martini 20 esan diodala belarrira eta Ixabeli beste zenbaki bat. 

Ozenki 23 eta 30 esango dut.

Hasiko gara Martinekin, honela galdetuz: zein da Ixabeleren zenbakia? Honek, ez dakiela erantzuten du, ezin duelako erabaki 3 eta 10ren artean. Orain, Ixabelen txanda da: zein da Martinen zenbakia? Baina Ixabelek ere ez dakiela dio. Ondoren, berriz ere Martini galdetzen diogu, eta  10 dela erantzuten du.

Nola?

Nola jakin du Martinek Ixabelen zenbaki sekretua 10 dela?

Azaldu.

SOLUZIOA 

*****

Read More

Pisaldi bakarra I

Bankuko zuzendariak txanponez betetako bost kutxa jaso ditu gaur goizean. Txanpon guztiak balio berekoak dira eta bakoitzak 10 gramoko pisua du.

Bat-batean dei bat jaso du zentraletik kutxa batek txanpon faltsuak dituela esanez. Kutxa faltsuko txanponak 11 gramokoak dira.

Zuzendaria langilei problemak proposatzea izugarri gustatzen zaio eta oraingoan ere ez du aukerarik galdu. Kutxazainari gertatutakoa azaldu eta gero, honela esan dio:

"Pisaldi bakarrarekin esaten badidazu zein den kutxa faltsua aste beteko oporraldia izango duzu opari".

Lagundu esaiozu kutxazainari 11 gramoko txanponak dituen kutxa aurkitzen pisua behin bakarrik erabiliz.

SOLUZIOA

Read More