Irakurri azokan gertaturiko ipuin bitxi hau eta, ondoren, erantzun galderei proportzionaltasunari buruz ikasitakoa kontuan izanik. Behin batean, Nafarroako zainzuriak saltzen zituen Zipriano jauna hurbildu zen gure herriko azokara. Ixabel inguratu zitzaion eta poltsan zeraman hari zati bat erakutsiz, honela esan zion:
- Lotu mesedez hari honekin ahal beste zainzuri eta esan zenbat zor dizudan. Ziprianok: - Tori Ixabel. 10 €, merke-merke! Hurrengo zapatuan, Ziprianorengana ondoratu zen berriz Ixabel; poltsatik luzera bikoitzeko hari bat atera zuen eta zainzuriak lotzeko eskatu zion. Ordaintzeko orduan, 20 € eman zizkioin hau esanez: "Gaur ere merke-merke daude, ezta? Orduan, aurreko zapatuan 10€ ordaindu banizkizun, oraingo honetan, hariaren luzera bikoitza denez, horixe ordainduko dizut, bikoitza, 20€. Ziprianok, burua mugituz, baietz esan zion. Ixabel irribarretsu aldendu zen Zipriano pentsakor utzita. Zergatik uste duzu Zipriano pentsakor gelditu zela? Tratu justua deritzozu? Zer esango zenioke saltzaileari? Hona hemen proportzionaltasunari buruzko hiru grafiko:
Hiru grafiko hauetatik zein aukeratuko zenuke salmentan gertatutakoa saltzaileari azaltzeko?
Irudian edifizio baten planoa ikus daiteke. Eraikinak 64 gela ditu, guztiak berdinak eta karratuak. Barruko gelek 4 ate dituzte, gela batetik ondoko gelara igarotzeko, eta fatxadaren ondokoek 2 edo 3 ate. Irudian ateak zuriz margotuta daude.
Hauxe da jakin nahi duguna :
Sarrerako gelan gaude eta irteerara iritsi nahi dugu aske geratzeko. Gela bakoitzean mezu bat dago, denera 64. Mezu guztiak jasotzen baditugu, irteerako atea zabaltzerik izango dugu. Baina, gela bakoitzetik irtendakoan gelako ateak ixtsiko dira eta ezin izango dugu berriro sartu. Hau da, derrigorrez gela guztietan sartu behar gara eta behin bakarrik.
Badago estrategiaren bat aske geratzeko? Bestela esanda, posiblea al da edifizioan sartu eta gela guztietatik behin bakarrik pasatuz irteerara iristea? Arrazonatu.
*****
Ondoren, pistatxo bat emango dizut, baina, lehendabizi saia zaitez begiratu barik ebazten.
Laguntza: agian xake taula baten antzera margotzen baduzu planoa, errezago ikusiko duzu problema honen "irteera".
Eñaut eta Leire anai-arrebek irudiko forma triangeluarra duen lursaila azalera bereko bi zatitan banatu nahi dute.
BC aldearen P puntuan dagoen putzua partekatzeko P-tik AC alderaino bi zatien muga lerro zuzenean eraikiko dute; baina asma ezinka dabiltza. Lagunduko al diezu? Bururatzen al zaizu non kokatu behar den Q puntua AC aldean ABPQ lauki erako lursaila eta PQC lursail triangeluarra azalera berekoak izan daitezen? Laguntza
A puntua P puntuarekin lotu.
BC aldearen E erdiko puntua aurkitu.
A puntua E puntuarekin lotu.
E puntutik doan AP zuzenkiarekiko zuzen paraleloa marraztu. Zuzen honek Q puntuan ebakitzen du AC aldea.
Bestetik, edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:
"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du, halako moldez non triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak diren"
Proipietate hau Geogebraz argi asko ikusten da. Mugitu D puntua:
Egiazta dezagun matematikoki propietate hau:
ADB eta DCB triangeluen altuera = h; orduan bakoitzaren azalera,
ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2
DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2
Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,
S'' / b2 = S' / b1
Beraz,
S'' / S'= b2 /b1
Ea propietate hau erabiliz goiko irudiko Q puntuaren kokapena justifikatzen duzun.
Bidaiari-tren batek 90 Km/h-ko abiaduraz norantza berean doan zama-tren bat harrapatzen duenetik t denbora behar du guztiz aurreratzeko. Bi trenak aurkako norantzaz gurutzatzen direnean, aldiz, t/2 denbora erdian aldentzen hasten dira.
Irudiko karratuaren 3/4 grisez margotu dugu. Ondoren, gelditzen den laurdenaren laurdena ere grisez. Jarraian, beste laurden bat eta horrela behin eta berriro. Limitean, hasierako karratuaren zein zati agertuko da margotuta?
Hona hemen bi ebazpen mota, geometrikoa eta analitikoa. Baina, lehenengo saia zaitez begiratu barik.
Irudiko forma duen alanbre baten gainean txingurri batek ibilbide bat egin behar du:
Ibilbidea markatuta agertzen diren 9 puntuetatik behin bakarrik igaroz egin nahi du. Hau da, puntu guztiak zapaldu behar ditu eta behin bakarrik. Lagunduko al diozu? Bere nahia bete ahal izango du? Azaldu arrazonatuz.
Aurten irailaren 12an hasiera emango diogu "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" izeneko ikastaroaren bigarren edizioari.
Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.
Bereizketa egingo dugu ariketak eta problemen artean.
Ariketak, ohi denez, testu liburuetan gai baten amaieran agertzen dira aurretik gaiaren garapenean ikasitako hainbat algoritmo praktikatzeko. Helburua prozedura eta mekanismo hutsak aplikatzean datza; beraz, argi eta garbi dago zer egin behar den ebazteko. Egoera itxiak aurkezten ohi dituzte eta ez diote sormenari lekurik egiten.
Problemen ezaugarriak, aldiz, oso bestelakoak dira. Benetako problema bat, erronka bat da, desafio bat; hasiera batean zer egin behar den badakigu, baina ez dakigu nola. Problema hauek egoera irekiak aurkezten ohi dituzte. Sormenak eta albo-pentsamentuak berebiziko garrantzia izaten dute. Hainbat estrategia erabiltzera bultzatu eta gure ezagupenetan eta esperientzietan sakontzera eramaten gaituzte; goi mailako konpetentziak garatzen dituzte. Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da. George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta. Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da. Joxemari Sarasuak, Josu Gotzon Ruiz de Gaunak eta Jesus Garcíak "Arrazoibide matematikoa eta problemagintza" liburuan honela diote: "Matematika-problema bat ebazteko enfasia ez datza horrenbeste soluzioa lortze hutsean, nola horretara iristeko erabili diren metodoetan. Eskolako bezalako modelizazioa-testuinguru batean, problema bati ematen zaion erantzunak, ikaskuntzaren eta arrazoibide matematikoaren ikuspegitik, garrantzi gutxiago du hura lortzeko erabili den prozedurak baino"
Bat nator esaldi honetan esaten denarekin eta problemen ebazpena ikasleekin lantzen dugunean edota guk geuk ebazteari ekiten diogunean, beti ere kontuan izan beharko genuke.
Ongietorri guztioi
PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN
"Matematikako problemak ebaztea baino atseginagoa da problemak proposatzea"
George Cantor
"Matematikaria izatearen arrazoi nagusia problemak proposatzea eta ebaztea da; problemen ebazpena Matematikaren bihotza baita"
P. R. Halamos
BIDEOAK
Jose Angel Murcia (Tocamates bloga), "Me gustan los problemas"
Adrián Paenza, "El placer de tener un problema no resuelto en la cabeza"
.png)
