Azterketa egunaren paradoxa

Ostiral arratsaldea da. Gure ikastetxeko matematikako irakasleak, astean zehar ikasleek izan duten portaera eskasa dela eta, haserre bizian honela esaten die ikasle bihurriei:

    "Datorren astean azterketa izango duzue, baina ez dizuet esan behar zein egunetan, azterketa egin behar duzuen egunean bertan goizeko 8:00tan jakingo duzue egun horretan izango dela, ez duzue aurretik jakiterik izango. Baldintza hau derrigorrezkoa, eta bete ezean azterketa ez genuke egingo" 

Ikasleek hasiera batean zur eta lur geratu ziren, baina, apur bat euren artean gaia aztertu eta eztabaidatu ondoren, irribarrea nagusitu zen. Pozik joan ziren etxera matematikako liburua gelan utzita, bazekitelako irakasleek ipinitako balditza ezin zela inolaz ere ez bete eta, ondorioz, ez zutela azterketarik izango.

Nola uste duzu arrazoitu zutela ondorio horretara iristeko?

AZALPENA

Ikasleak euren artean eztabaidatzen ari zirela, batek honela esan zuen:

"Ostiralean ezin digu azterketarik jarri berak ipinitako baldintza ez delako betetzen. Ostegunerako ez badugu egin, orduan ostirala baino lehenago jakingo genuke ostiralean dela azterketa eguna. Irakasleak esan zuenez, egunean bertan goizeko 8:00tan jakinko dugu azterketa  egun horretan izango dela eta baldintza hau nahitaezkoa da. Ondorioz, ostiralean ezin da izan."

Berehala beste ikasle batek:

"baina arrazoi berdinagatik ostegunean ezin da egin, asteazkenean ez bada egiten aurretik jakingo genukeelako azterketa ostegunean dela, zuk lehen esan duzunez ostiralean ezinezkoa baita. Berriz ere, irakaslearen araua apurtu egiten da."

Era honetan atzeruntz eginez ez asteazkenean, ez asteartean, ezta astelehenean ere azterketa ezin zela egin konturatu ziren.
Paradoxa polita benetan, ez dakigu irakasleak nola hartu zuen ikasleen arrazonamedu hau; baina puntu positiboa bai merezi zutela.

*****

Read More

Blyth-en paradoxa

Gaixotasun baten aurkako botika baten efektibitatea 1 eta 6ren arteko balioekin neurtzen da.

Merkatuan botika honen bi formatu daude: A eta B

A formatuaren efektibitatea 3 da beti.
B formatuarena, berriz, aldakorra da: denboraren 51%ean bere efektibitatea 1 da eta 49%an, berriz, 5ekoa.

Kolmogorov doktoreak bi formatoen artean aukeratu behar du paziente bat tratatzeko. 

• A eta Bren artean zein komeni zaio aukeratzea bere pazientea sendatzeko aukera gehiago izan dezan?

Hirugarren  formatu bat (C) agertu da merkatuan. C botikaren portaera honako hau da: denboraren 56% bere efektibitatea 2 koa da, 22% 4koa eta 22% 6koa.

• A eta C formatuen artean zein formatu gomendatuko zenioke zuk? 
• Eta B eta C-ren artean? 
• Eta A, B eta C hiru botikak izango balitu, zein komeni zaio aukeratzea?
• Sorpresa hartuko al du Kolmogorov doktoreak?

*****

Read More

Kuboa zulatzen

5x5x5 dimentsioak dituzten bi kubo zulatu ditugu aurpegi batetik aurkako aurpegira doazen tunelak eraikitzeko: 

A

B

Zenbat kubo txiki kendu behar izan dira kasu bakoitzean?

*****

Read More

Berehalako problemak

Ondoren berehalako problema sorta; hau da, arkatza eta papera erabili gabe edo buruz ebazten diren problemak.

TXAKURRAK KATUAK ETA LOROAK

Honako hau jakinda:

Denak txakurrak dira bi izan ezik.

Denak katuak dira bi izan ezik.

Denak loroak dira bi izan ezik.

Zenbat animalia dauzkat etxean?

ZENBAT 9ko?

Kale batean 100 eraikin daude. Eraikin guztien atarian zenbakiak jarri nahi ditugu 1tik 100ra.

Zenbat 9ko behar ditugu?

EHUNEKOAK

Zer izango da handiagoa?

75en %25a edo 25en %75a

FORMULA 1ko GIDARIA

Formula 1ko gidari batek Jarama zirkuitoari bira oso bat emateko minutu bat eta 23 segundu erabiltzen ditu.

Erritmo berean jarraituz, zenbat denbora behar izango du 60 bira emateko?

DIRU KOPURU BERBERA

Enaitzek eta Leirek diru kopuru berbera daukate.

Zenbat euro eman behar dizkio Enaitzek Leireri, azken honek Enaitzek baino 10€ gehiago izateko?

ARTZAIN ARTEAN

Artzain batek honako hau estaen dio beste artzain bati:

"Nire ardi bat oparitzen badizut, nik izango dudan kopuruaren bi halako izango duzu zuk.

Baina, ordea, zure ardi bat ematen badidazu, orduan biok kopuru berbera izango genuke".

Zenbat ardi zeuzkan bakoitzak?

ZER ORDU DA?

Ze ordu izango da, eguna amaitzeko pasa diren orduen herena falta bada?

GARAGARDOAK

Gizon eta erdi batek garagardo eta erdi bat edaten badute egun eta erdi batean, zenbat garagardo edango dute sei gizonek sei egunetan?

UNTZIAK ETA USOAK

Kaiola batean untziak eta usoak daude, guztira 35 buru eta 94 hanka.

Zenbat hegazti daude?

FILM BITXIA

Film batek egun bikoitietan ikusten dugunean ordu bat eta hogei minutu irauten du.

Egun bakoitietan, aldiz, 80 minutu bakarrik,

Nola???



*****

Read More

Orriaren azalera

Alde batetik zuria eta bestetik grisa den orria 3 aldiz tolestu dugu irudian ikusten moduan.

Orria tolesten dugun bakoitzean laukizuzen zuri bat bistan geratzen da. Laukizuzen hauen perimetroak P1 , P2 eta P3 dira.

Baldin P1 = P2 + 20 eta P2 = P3 +16 badira,

Kalkulatu hasierako orriaren azalera.

Read More

Txanpon banaketa.

Aita batek txanpon kopuru bat banatu du bere hiru seme-alaben artean, ondoko eran:

• Lehenengoari guztiaren erdia gehi txanpon bat eman dio.
• Bigarrenari gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.
• Hirugarrenari gainontzekoa; hau da, gelditu denaren erdia gehi txanpon bat.

Horrela txanpon guztiak banatu ditu.

Zenbat txanpon banatu ditu guztira? Zenbat txanpon eman dizkio bakoitzari?

Eta 4 seme-alaba balira? eta 5? eta 6?....eta n? Ea orokortzen duzun.





Problema honek ebazpen aljebraikoa onartzen du, baina badago ebazpen aritmetiko-logiko bat oso erraza eta erakargarria. Ea aurkitzen duzun. Hiru esaldietako batean dago gakoa.
Beste aukera bat da probatzea kopuru desberdinekin (kantitate txikietarako egokia izan daiteke). Metodo honek problemaren egiturari buruzko informazioa ematen du eta ezinezko diren kopuruak baztertzen ere laguntzen du.

AZALPENA

Read More

Begi urdinen uhartea

Oraingoan proposatzen dizuedan problema benetan ederra da. Informazioa jaso, izan eta sakon aztertzearen garrantzia agerian uzten digu gaurko problema honek. Matematikaria eta kazetaria den Adrian Paenzaren "¿Cómo, esto también es matemática?" liburuan irakurri nuen lehenengo aldiz. 

Honela dio:


Uharte batean 100 persona bizi dira, batzuk begi urdinak dituzte eta beste batzuk marroiak. Pertsona bakoitzak beste guztien begien kolorea ikus dezake, berea ezik. Ezin dute beraien artean bigien koloreari buruz hitz egin. Ez dago norberaren begien kolorea ikusterik ezta jakiterik ere.

Irlan lege bat ezarri dute, eta lege horren arabera biztanle bat begi urdinak dituela jabetzen bada, hurrengo egunean goizeko 8:00retan alde egin behar izango du uhartetik.

Egun batean bisitari bat iristen zaie eta guztiei begira honela esaten du: "irla honetan gutxienez persona batek begi urdinak ditu"

Uhartean gutxienez persona batek begi urdinak zituela entzun eta gero, zer uste duzu gertatu zela?


Ondoren datorren azalpena irakurri baino lehenago, saia zaitez azaltzen itxuraz inozoa ematen duen esaldiak uharteko biztanleengan izango duen eragina.
Baina, nahi duzunean irakurri ea ados zauden.

AZALPENA

Bisitariak emandako informazioak  guztiz aldatzen du biztanleen egoera. Esaldi horrek, gezurra dirudien arren,  norbanakoaren begien kolorea agerian uzten du; eta ondorioz, begi urdinak dituzten biztanleak uhartea uztera behartuta egongo dira.

·   Uhartean begi urdinak dituen persona bakarra badago, honek, esaldia entzuterakoan, eta bere inguruko 99 biztaleek begi marroiak dituztela ikusita, irlako begi urdin bakarra bera dela ulertuko du. Ondorioz, legeak dionaren arabera, hurrengo goizean 8:00retan uhartea utzi beharko du.

·   Demagun orain 2 begi urdin daudela A eta B izenekoak. A-k 98 begi marroi eta 1 begi urdin (B biztanlea) ikusten ditu. Era berean, B-k begi urdin bat (A) eta 98 begi marroi. Bisitariak gutxienez persona batek begi urdinak dituela esan eta hurrengo goizean irlatik inor ez doala ikusita, A-k B ez dela begi urdin bakarra jakingo du,eta beste 98ak begi marroidunak direnez, berak begi urdinak dituela  jakingo du. Berdin gertatuko zaio B-ri. Horrela, 2. egunean goizean A eta B biztaleak joan egingo dira.

·   3 pertsona begi urdinekin badaude (A, B eta C izenekoak), zer gertatuko da? Kasu honetan hiru biztanle hauetako bakoitzak 97 pertsona begi marroiekin eta 2 begi urdinekin ikusten dituzte. A biztanleak honela pentsatuko du:  2 begi urdin bakarrik badaude, A eta B biztaleak, hauek 2. egunean irlatik joan beharko dira. Baina, bigarren egunean A eta B ez direla joan ikustean, berak ere begi urdinak dituela jakingo du (era berean arrazonatuko dute A-k eta B-k) eta 3. egunean hirurak joango beharko dira uhartetik.

·   Beste kasuetan ere antzera: 4 begi urdin 4. egunean alde, 5 begi urdin 5. egunean alde,…

Bizitzan informazioa etengabe jasotzen dugu. Sarri askotan informazio hau ez dugu sakon aztertzen, eta guretzat eta gure inguruentzat probetxugarria eta onuragarria izan zitekeena alperrik galtzen dugu. Problema honek zera erakusten digu: entzutea, irakurtzea, informazioa jasotzea eta ondoren hausnartzea matematika egitea ere badela; eta matematika egitea bizitzarako onuragarria izan daiteke.





Read More

Tenis-partidak eta probabilitatea

Hona hemen intuizioari burla egiten dion probabilitate-problema polit bat. Ikerketa moduan proposatu daiteke DBH 4. mailan edota Batxilergoan.

DBH-ko 4. mailako ikasleek kurtso amaierako ikas-bidaia antolatu dute, baina bi helduren laguntza behar dute ikas-bidaira joan ahal izateko. Matematikako irakasleak, Elena eta Rakel, gonbidatu dituzte arduradun moduan joateko; baina hauek, probabilitatearen gaiarekin dihardutela aprobetxatuz eta ikasleak motibatzeko asmoz,  ondoko problema erakargarria proposatu diete:

"Dakizuen moduan Elenak eta biok tenisa oso gustoko daukagu. Jokatu ere ahal dugunean egiten dugu, baina Rakel ni baino trebeagoa da, hobeto jokatzen du. Aukeratu behar duzue zeuen artean gelako txapelduna, onena noski!, gure kontra hiru partida jokatzeko; baina partida bakoitzean aurkariaz aldatu behar du (Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel). Bi partida jarraian irabazten baditu ikas-bidaiara joango gara...

Beno, errazagoa ipiniko dizuegu. Arrazoi probabilistikoak emanez, ondorengo galderari ondo erantzuten badiozue, joango gara:

Zein aukeratu behar duzue lehenengo partidarako Elena ala Rakel, bi partida jarrain irabazteko probabilitatea handiagoa izan dadin?

Beste era batean esanda, Elena-Rakel-Elena edo Rakel-Elena-Rakel, zein ordenetan komeni zaizu aukeratzea aurkariak?

Zergatik?"

Demagun zuen ordezkariak Rakeli irabazteko duen probabilitatea p eta Elenari irabaztekoa q dela. Argi dago p txikiagio dela q baino. Errazago iruditzen bazaizue, eman balio bat, nahi duzuena, p-ri eta beste bat q-ri.



Buruari eragin gogoz eta, ondoren, begiratu hemen proposatzen den soluziobidea:



SOLUZIOA



*****

Read More

Zenbakiekin jolasean

ZENBAKIAK 1

Irudiko zirkunferentzian 4 diametro marraztu ditugu. Kokatu zirkunferentziaren zentruan eta segmentuen muturretan dauden hutsunetan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9 zenbakiak, diametro bakoitzean kokaturiko zenbakien batura konstantea izan dadin.

ZENBAKIAK 2

Beheko irudian erradio bereko hiru zirkunferentziek sei puntuetan ebakitzen dute elkar. Ebaki puntuetan hutsik duden sei zirkulu marraztu dira. Kokatu zirkulu txikietan 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 zenbakiak, zirkunferentzia handi bakoitzean dauden lau zenbakien batura 14 izan dadin:

ZENBAKIAK 3

Kokatu triangeluaren aldeen gainean dauden hutsunetan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9 zenbakiak, halako moldez non alde bakoitzean dauden zenbakien batura 17 den.

ZENBAKIAK 4
Irudiko trianguluaren aldeetan sei zirkulu daude:

a) Jarri Zirkuluetan {1, 2, 3, 4, 5, 6} zenbakiak, triangelu handiaren aldeetako hiru zenbakien batura 12 izan dadin.
b) Egiaztatu a ataleko batura ezin dela 13 izan.
c)  Ikertu ea posiblea ote den hiru aldeetako hiru zenbakien batura eta erdiko triangelu txikian daudenen batura berdina izatea.


ZENBAKIAK 5
Zenbaki arruntak irudiak erakusten duen eran kokatu ditugu: lehenengo zutabean 1, bigarren zutabean hurrengo hiru zenbakiak, hirugarrenean hurrengo bostak,...

Zenbatekoa da hamargarren zutabean dauden zenbakien batura?

Read More

Zainzuriak, haria eta proportzionaltasuna.

Irakurri azokan gertaturiko ipuin bitxi hau eta, ondoren, erantzun galderei proportzionaltasunari buruz ikasitakoa kontuan izanik.

Behin batean, Nafarroako zainzuriak saltzen zituen Zipriano jauna hurbildu zen gure herriko azokara. Ixabel inguratu zitzaion eta poltsan zeraman hari zati bat erakutsiz, honela esan zion:

    - Lotu mesedez hari honekin ahal beste zainzuri eta esan zenbat zor dizudan.

Ziprianok:
    - Tori Ixabel. 10 €, merke-merke!


Hurrengo zapatuan, Ziprianorengana ondoratu zen berriz Ixabel; poltsatik luzera bikoitzeko hari bat atera zuen eta zainzuriak lotzeko eskatu zion.

Ordaintzeko orduan, 20 € eman zizkioin hau esanez: "Gaur ere merke-merke daude, ezta? Orduan, aurreko zapatuan 10€ ordaindu banizkizun, oraingo honetan, hariaren luzera bikoitza denez, horixe ordainduko dizut, bikoitza, 20€.

Ziprianok, burua mugituz, baietz esan zion.

Ixabel irribarretsu aldendu zen Zipriano pentsakor utzita.

Zergatik uste duzu Zipriano pentsakor gelditu zela? Tratu justua deritzozu? Zer esango zenioke saltzaileari?

Hona hemen proportzionaltasunari buruzko hiru grafiko:

Hiru grafiko hauetatik zein aukeratuko zenuke salmentan gertatutakoa saltzaileari azaltzeko?

*****

  

Read More