Digituak batzen

Ander, Aitor, eta Eneko ikasle jator baina geldigor, mateko irakaslearen neuronak astintzen trebe. Beren ikaskideen neuronak dantzan ipini nahian honako problema hau proposatu diete. Selektibitateko azterketa zahar batean aurkitu omen dute eta lagungarri izango zaielakoan irudi alai bat ere txertatu dute:

Problemak honela dio:

Izan bedi B honela definitutako funtzioa: zenbaki bakoitzaren irudia haren digituen batura da, adibidez, B(2017) = 2+0 +1 + 7 = 10. 

Kalkulatu ondorengo zenbaki erraldoien digituen batura: 
                 B(10¹⁰⁰ - 1)=?
             B(10¹⁰⁰ - 10)=?
             B(10¹⁰⁰ - 100)=?

Read More

Zenbaki orekatuak

Leire, Goretti eta Fati lau zifrako zenbakien hainbat propietate ikertzen aritu dira eta bereziki interesgarriak iruditu zaizkie "zenbaki orekatuak".

abcd lau zifrako zenbaki bati orekatua esango diogu, baldin a+b=c+d bada. Adibidez: 3571 zenbaki orekatua da 3+5=7+1 delako.

Zenbaki orekatuak zenbatu nahiean dabiltzate eta lan horretan laguntza eskatu digute.

Galdera hauek luzatu dizkigute:

• a+b=c+d=3 egiaztatuz, lau zifrako zenbat zenbaki orekatu daude ?

• Zenbatek egiaztatzen dute   a+b=c+d=5? 

• Eta a+b=c+d=8? Eta a+b=c+d=16?

• Denera, lau zifrako zenbat zenbaki orekatu daude?

*****

Read More

Zenbakiak eta digituak

Matematikako irakasleak {1,2,3,4,5,6,7,8,9} digituen artean bost aukeratu ditu. Maialenek bost digitu horietatik hiru erabiliz hiru zifrako ahalik eta zenbakirik handiena idatzi du eta Saraik, ordea, ahalik eta txikiena.

Monikak bere lagunek idatzitako hiru zifrako bi zenbaki horien arteko kenketa egin du eta problema hau proposatu digu:

Irakasleak aukeratutako digituak eta Maialenek eta Saraik idatzitako zenbakiak ikusi gabe, jakin ahal dezakegu zein den bi zenbakion arteko diferentziaren batekoen zifra?

   

*****

Read More

Zenbaki bakoitiak zenbaki karratuen sortzaile. Hitzik gabeko egiaztapena

Irudiak hitz egin dezala:

Beraz:

*****

Read More

Problema olinpikoak ebazten

Esnatu zure sena matematikoa eta ekin problemak ebazteari. Klikatu THATQUIZ-PROBLEMAK izenaren gainean edo irudian eta Euskadiko olinpiadetako 10 problema proposatuzo zaizkuizu. Problema bakoitzean lau aukeren artean erabaki beharko duzu Amaieran emaitzak ikusgai izango dituzu. Erronka polita eta dibertigarria, baina gogoz pentsatu behar da. 

THATQUIZ-PROBLEMAK

*****

Read More

Zenbaki lehenen bila zenbaki konposatuak ezabatuz

Zenbaki lehenak determinatzeko ezagutzen dugun metodorik zaharrena Kristo aurretiko III. mendean Eratostenes matematikariak Egiptoko Tolomeo erregeari aurkeztutakoa da. Eratostenesek taula batean lehenengo hiruzpalau mila zenbaki idatzi zituen, zenbaki konposatuak zulatuz bakarrik zenbaki lehenak utzi zituen bistan. Erabili zuen metodoa Eratostenesen bahea izenarekin ezagutzen da.
Badago metodo edo prozedura aritmetiko-geometriko bat zenbaki lehenak bizkor lortzeko. Oso bisuala, deigarria eta erakargarria.
Bideo honen irudiek hitzik gabe azaltzen digute prozedura:

 

Irudiek nahiko garbi hitzegiten badigute ere, hona azlpentxo bat hitzez:

Bitik hasita 6 zutabetako taula batean zenbaki arrunten segida idazten dugu. Era honetan zutabe bakoitzeko elementuak diferentzia 6 duen segida aritmetiko baten gaiak dira, n-garren gaia zutabeka ondokoa delarik,

1. Zutabea: a_n1 = 1+(n-1)·6 = 6n-5
2. Zutabea: a_n2 = 2+(n-1)·6 = 6n-4 (2ren multiploak)
3. Zutabea: a_n3 = 3+(n-1)·6 = 6n-3 (3ren multiploak)
4. Zutabea: a_n4 = 4+(n-1)·6 = 6n-2 (2ren multiploak)
5. Zutabea: a_n5 = 5+(n-1)·6 = 6n-1
6. Zutabea: a_n6 = 6+(n-1)·6 = 6n    (6ren multiploak)

Zera ondorioztatzen da:

• Bigarren, laugarren eta seigarren zutabekoak konposatuak, 2ren multiploak dira, 2  izan ezik; ezabatu.
• Hirugarren  zutabekoak 3ren multiploak, orduan ezabatzen dira, 3 izan ezik.
• Aurreko puntuetan 2 eta 3 zenbakien multiploak ezabatu ditugu.
• 5,10,15,20 diagonal batean daude (ezabatu 5 ezik).
• Aurreko lerroarekiko paralelo eta beheruntza 5ko distantziara 25,30,35,40,45,50 aurkitzen dira (ezabatu). Hurrengokoan 55,60,65,...ezabatu. Era honetan jarraituta 5ren multiplo guztiak desagertzen dira.
• Ezabatu bariko hurrengo zenbaki lehena 7 da. Honen multiplo guztiak 7ko distantziara dauden beste norabideko diagonaletan eta paraleloki kokatuta aurkituko ditugu (ezabatu).
• Berdin jokatuko dugu 11, 13 eta abarren multiploekin.
• Ezabatu gabe gelditzen direnak zenbaki lehenak dira.

3 baino handiagoak diren zenbaki lehenen multiploak zuzen diagonaletan daude. Galdera:

Zein da holako zuzen bakoitzaren malda?

Amaitzeko zenbaki lehenak Adrián Paenzaren eskutik:

***** 

Read More

Matemagiaz blai (II)

Bederatzia zenbaki emankorra eta jolastia dugu. Hainbat zenbaki eta kartetako joku bederatziaren propietate berezietan oinarritzen dira. Gure zenbaki sitemaren oinarria den 10tik horren gertu egoteak (unitate batera) badu zerikusirik.
Ona hemen 9ren propietate miresgarrietan oinarritzen diren hainbat adibide:

BEDERATZIAREN MULTIPLOA

Jolastu lagun batekin ondoko eran,

1. Bi zifrako zenbaki bat pentsatzeko esan (Ad.: 38)
2. Zenbaki hori bider 10 egiteko (380)
3. 90 baino txikiagoa den 9ren múltiplo bat aukeratzeko (18)
4. Bigarren ataleko emaitzari kentzeko hirugarren atalean aukeratutakoa(380-18=362)
5. Azkeneko emaitza esateko eskatu. Hasierako zenbakia erraz asmatuko duzu (36+2=38)

Nahikoa duzu bostgarren pausoan lagunak esandako zenbakia bitan banatzea: ehuneko eta hamarrekoen zifrek eratutako zenbakia eta unitateen zifra. Bi hauek batuz gero, hasierako zenbakia daukagu.

Baina zergaitik? Zein da joku honen azalpen matematikoa?

Aljebra apur bat erabiltzea besterik ez duzu:

AZALPENA

EZABATUTAKO ZIFRA

Ikaskideen aurrean boluntario bat eskatu laguntzeko eta ondorengo pauso hauek jarraitzeko eskatu:

• Pentsatu 4 zifrako zenbaki bat
• Pentsatutako zenbakiaren zifren batura egin
• Batura hori hasierako zenbakiari kendu
• Kenketaren emaitzean zero ez den nahi duzun zifra ezabatu
• Ezabatu gabeko zifrak nahi duzun ordenean esan ozenki.

Guztien harridurako, berehalako batean lagunak ezabatutako zifra zein den asmatu egingo duzu.

Nola? Zertan oinarritzen da?  (gogoratu zenbaki bat 9ren multiploa izateko baldintza)

Saia zaitez azalpena bilatzen. 

AZALPENA

HIRU ZIFRAKO ZENBAKIA

Ikasle batek kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat aukeratu behar du. Ondoren, ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu behar ditu zenbaki berri bat lortzeko. Aurreko bi zenbakien arteko diferentzia (handia ken txikia) kalkulatu eta diferentzia horren azkeneko zifra esaten badizu (berdin lehenengoarekin), diferentziaren beste bi zifrak asmatuko dituzu, guztiak aho zabalik utzita.

AZALPENA

1089

Aurreko jokoaren aldaera bat da.

Aurretik iragarri azkeneko emaitza 1089 izango dela. Jarraian goiko jokuan egin dugun moduan jokatu. Kapikua ez den hiru zifrako zenbaki bat auketu (lehenengo zenbakia), ehunekoen eta batekoen zifrak trukatu (bigarrena),  diferentzia kalkulatu (hirugarrena), kenketaren emaitzean ere ehuneko eta batekoen zifrak trukatu (laugarrena) eta azkenik bi hauek (hirugarrena eta laugarrena) batu. Hortxen dago aurresan dugun zenbakia: 1089.

Adibidea:

• 328 aukeratutako zenbakia (lehenengoa)
• 823 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (bigarrena)
• 823-328=495 diferentzia (hirugarrena)
• 594 Ehunekoen eta batekoen zifrak trukatuta (laugarrena)
• 495+594=1089 hirugarrena eta laugarrena batuz

Ea asmatzen duzun zergatia. Gogoratu hiru zifrako zenbaki baten idazkera hamarren berreduren menpe:  abc=100a+10b+c eta cba=100c+10b+a.

 Suma  aldizkarian (52 zenbakian) 9ren magia duzue "Grupo Alquerque de Sevilla"ren eskutik "La Magia del Nueve" artikuluan.

Read More

Ehiza kartesiarra

Esnatu zure arima matematikoa ondoren datorren jokoan estrategia irabazlea aurkitzeko.

Honako 8x8 neurriko taulan jokatuko da:

Hauek dira jokoaren arauak:

• Beheko eta ezkerreko laukian fitxa bat jarriko da. 
• Bi jokalarik (A eta B izenekoak) jokatuko dute.
• A jokalaria hasiko da eta txandaka jokalari bakoitzak fitxa mugituko du ondoko lauki batera.
• Baimendutako mugimenduak: gora, eskumara eta diagonalean, irudian ikusten den eran.
• Helmugara iristen den lehena irabazlea izango da.

Bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko?
Zeinek dauka estrategia irabazleak? A Lehenengo jokalariak ala  B bigarrenak?

Eta beste taula honetan jokatzen bada?

Eta hirugarren honekin?

AZALPENA

Kasu errazagoak aztertuko ditugu: 2x2, 3x3, 4x4,...

2x2koa 3x3koan txertatzen da, 3x3koa 4x4koan,...

2X2koan A-k irabazi.

3X3koan A-k galdu.  

4X4koan A-k irabazi.

5X5koan A-k galdu.  

·························  

8X8koan A-k irabazi.

Berdez margotu dira posizio irabazleak; hau da, bere txandan fitxa lauki berde batean aurkitzen duena, irabazteko asmoarekin jokatzen badu, irabaziko du aurkariari fitxa lauki gorri batean uzten badio.
Beraz, lauki irabazleak berdez margotu dira eta galtzaileak gorriz. Lauki berde batetik aukera dago fitxa lauki gorrira eramateko (edo azkeneko mugimenduan helmugara). Lauki gorri batetik derrigorrez berdera igarotzen da, eta horrela, aurkariak irabaziko du.


Estrategia hau 8x8ko kasura zabalduz:

Beraz, lehenengo jokalariak estrategia irabazlea dauka.

Eta bigarren taularekin jokatzen bada? Eta hirugarrenarekin? Zeinek irabaziko luke?

Asmatu zuek beste tablero batzuk eta aurkitu estrategia irabazlea.

*****

Read More

Enekoren lagunen paradoxa

Enekok uztaila osoan Irlandan igaro ondoren, bueltan da aireportuan. Aita eta ama bere bila hurbildu dira aireporturaino.
Aitak honela galdetu dio semeari: "Lagun berririk egin duzu?", Enekok: "bai, bi lagun".
Aitak berriz: "lagunen bat neska al da?", "bai" erantzun dio Enekok

Orduan, bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/3 da.

Zergatik?

Ondoren, amak: "urrutitik ikusi dudan gorriz jantzita doan laguna neska al da?" Enekok: "bai".

Orduan, Enekoren bi lagunak neskak izateko probabilitatea 1/2 da.

Zergatik?

Read More

Monty Hall-en problema

1963tik 1990ra Estatu Batuetako telebistan Monty Hall-ek aurkezten zuen "Let's Make a Deal" lehiaketa programa emititu zuten. 

Programaren dinamika, hauxe da:

Programaren bukaera aldera lehiakideak itxita dauden hiru atetik bat aukeratu behar du, batean sari on bat dago eta beste biak hutsik daude (jatorrizko programan, beste bietan ahuntza bana zegoen). Ate bat aukeratutakoan, aurkezleak (honek ondo daki saria non dagoen) hutsik dagoen (edo atzean ahuntza duen atea) irekitzen du. Ondoren, aukera ematen dio lehiakideari aldatzeko, lehen aukeratu duen atea utzi eta bestea hautatu.
Zuk zer egingo zenuke? aldatu ala ez?


Problema hau "Monty Hall-en problema" izenarekin ezaguna da, eta oso historia polita du atzean:

Garai hartan oso ezaguna zen Marilyn vos Savat, Errekorren Guinness Liburuan agertzen zen munduko koefiziente intelektual handiena zuelako (228). Marilyn-ek "Preguntas a Marilyn" egunkari zutabean idazten zuen. Behin, zera idatzi zuen: "¿Abantaila dago atea aldatzea erabakitzen bada?". "Bai, hobe da aldatzea, beti aldatu beharko genuke". Kritikak handik eta hemendik iritsi zitzaizkion; 10.000 inguru gutun jaso zituen, horien artean irakasle eta matematikariek idatzitakoak ere: "irabazteko probabilitatea eta galtzekoa ere ate bat ireki ondoren 1/2 da", "aitortu zure akatsa, eta hurrengoan zuhurtasunez jokatu", "zenbat matematikari gehiagok idatzi behar dizute iritziz aldatzeko"...

Marilyn-ek arrazoia zeukan, eta idatzi zioten guztiek huts egin zuten. Atez aldatzen bada irabazteko probabilitatea nabarmen handitzen da (bikoiztu egiten da).



AZALPENA

21 Black Jack pelikulan ematen den azalpena:

  

Raul Ibañezen azalpena:

Azalpena eskema baten bitartez:

Problema honi buruz:    Suma aldizkaria
                                   Hiru ateen problema

Problema hau oso erakargarria da probabilitatearen gaiari hasiera emateko, eta, bide batez, probabilitate problema batzuk ez direla batere intuitiboak ikasleei ikusarazteko. DBH-ko 2. zikloan lantzen da probabilitatea, baina, 1. ziklokoan problema moduan aurkez daiteke.  Problema aurkeztu ondoren galdetuko diegu ea beraiek zer egingo luketen. Jarraian, planteatu dezakegu problema bera baina 100 aterekin: bat aukeratzen da eta hutsik dauden 98 ate ireki ondoren, aldatzeko aukera eman, ¿zer egingo zenukete kasu honetan?

*****

Read More