2014-05-24

Kutxak, bolak eta Simpson-en paradoja

 
Simpsonen paradojaren adibide bitxia ikusiko dugu gaurkoan.



Irudian hiru egoera agertzen zaizkigu, eta egoera bakoitzean gure helburua bola gorria ateratzeko probabilitatea optimizatzea da. Nola jokatu behar dugu bola gorria ateratzeko probabilitate ahalik eta handiena izateko?  Kutxa urdina aukeratu behar dugu hiru kasuotan?

Azter dezagun banan-banan:

1.EGOERA


Lehenengo egoeran A kutxan (urdina) 7 bola ditugu eta horietatik 3 gorriak dira; beraz, bola gorri bat ateratzeko probabilitatea 3/7=15/35. Bestetik,  B kutxan (berdea) 5 boletatik 2 gorriak direnez, gorria ateratzeko probabilitatea 2/5=14/35 izango da. Beraz,  kutxa urdina komeni zaigu aukeratzea, gorria ateratzeko probabilitatea handiagoa baita.

2.EGOERA:
 
  
Era berean, bigarren kasu honetan ere  kutxa urdina (A') aukeratzen bada  bola gorria lortzeko probabilitatea handiagoa da 4/6=2/3=22/33. B' kutxan (berdea), ordea, 7/11=21/33.

3.EGOERA:
 

Hirugarren egoeran, kutxak nahastu ditugu: A + A' (13 bola denera = 7 gorri + 6 zuri) eta B + B' (16 bola denera = 9 gorri + 7zuri) . Baina, uste izaten denaren aurka, oraingo honetan aldatzea komeni da, B + B' kutxa (berdea) aukeratzen badugu gorria lortzeko probabilitatea hobetzen baita ( 7/13 txikiagoa da 9/16 baino).

Geogebrako applet honetan, kutxa bakoitzaren osaera aukeratu ondoren,  grafikoki azter ditzakegu  probabilitateak eta zein kasuetan ematen den Simpsonen paradoja zehaztu. X ardatzean bola kopurua guztira eta Y ardatzean gorrien kopurua adierazita daudenez, zuzen bakoitzaren maldak kutxa bakoitzetik (A, A', B eta B') eta kutxen elkarketatik (A+A' eta B+B') bola gorria ateratzeko probabilitatea ematen digu. Zuzenkiak planoko bektoreak balira moduan ere har ditzakegu, non malda=Vy/Vx= P(gorria) den.

Klikatu irudiaren gainean:

http://www.geogebratube.org/student/m120407



Gertaera paradogiko hau Colin R. Blyth-ek aurkitu zuen 1951. urtean E. H. Simpsonen artikulu bat irakurtzean, eta "Simpsonen paradoja" moduan izendatu zuen.

Paradoja honen beste adibide batzuk:



 

1 iruzkin: