2014-05-30

Laukizuzenak konparatzen

 
Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?


 
Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Laguntza moduan, hona hemen Mikel Retegik geogebran egindako appleta (mugitu P puntu gorria):
 


http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611

Geogebraren laguntzaz erraz ikus dezakegu problema honen soluzioa. Bisualizazioak argitu egiten digu bidea eta problemaren azalpenaren ateak zabaltzen dizkigu.

Saia zaitez orain azalpena edo egiaztapen geometrikoa ematen, ondoren datorrena irakurri baino lehen.



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotzen ditugu:

 

Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marrazten dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

 
Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 
 
 
Azalera 1 = Azalera 1'
Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'
 
(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,
 
Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

 

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.



Oharra: Tito Eliatron Dixit blogean irakurri dut problema hau, baina,  Jose Antoniok aipatzen duen moduan, Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

2 iruzkin: