Integralak: Zatikako Metodoa. Nola aukeratu u eta dv? Beharrezkoa al da formula?

Batxilergoko 2. mailan ikasleak kalkulu integralean murgiltzen dira buru belarri funtzio deribatua integratuz jatorrizkoen bila. Jatorrizko funtzioak aurkitzeko hainbat metodo edota teknika ikasten dute, horien artean, metodo bitxi bat, zatikako metodoa deiturikoa. 

Metodo hau eraginkortasunez erabiltzeko pauta eta adibide batzuk (formulaz eta formula erabili barik) emango ditugu jarraian.  

➤Nola aukeratu u eta dv zatikako metodoan? 

Hona hemen aukeraketa egiteko lagungarria den arau mnemotekniko bat:

Irudian ALPES hitzaren hizkien esanahia dugu. Hizki bakoitza funtzio mota bat da, eta honek pista bat ematen digu u eta dv aukeratzerakoan. Aurretik dagoen hizkiak u bezala zein funtzio aukeratu behar den esango digu eta bigarren hizkiak, ordez, dv.

Adibide bat ikusi baino lehen, gogora dezagun zertan datzan zatikako metodoa.

🔻🔻🔻

Demagun x-ren menpeko bi funtzio deribagarri: f(x) eta g(x).

Bi funtzio hauen f·g biderkadura deribatuko dugu Lagrangeren notazioa erabiliz,

(f·g)' = f'·g + f·g' =g·f' + f·g'

edo berdina dena baina Leibnizen diferentzialen notazioaz (f' = df/dx),

d(f·g)/dx= g·df/dx + f·dg/dx

Beraz,

d(f·g) = g·df + f·dg

Bi aldeak integratuz, 

∫d(f·g) = ∫g·df + ∫f·dg

f·g = ∫g·df + ∫f·dg

 ∫f·dg isolatuz, zatikako metodoaren oinarrizko formula izango dugu,

∫f·dg = f·g - ∫g·df
 

f = u eta g = v eginez, ezagunagoa den honako adierazpenera heltzen gara,

∫udv = uv - ∫vdu

🔺🔺🔺

➤Zatikako metodoa zein integral motatan komeni da  erabiltzea?

Integrala berehalakoa ez bada eta integrakizunean mota desberdineko funtzioen biderkadura (funtzio polinomikoa bider funtzio trigonometrikoa, funtzio polinomikoa bider esponentziala, trigonometrikoa bider esponentziala, polinomikoa bider arco funtzioa, arcsinx·dx, lnx·dx,...) agertzen denean zatikako metodoa aplikatzea efektiboa izan daiteke.

Metodo honetan, hasierako integrala bi zatitan banatzen da, u zatia eta dv (bigarren hau dx-rekin batera hartzen da eta integratzeko erraza edo berehalakoa behar du izan); formula aplikatu ondoren, bigarren integrala hasierakoa baino errazagoa izatea espero da.

u eta dv aukeratzeko ikusitako arau mnemoteknikoaren adibide bat doakizue bideo honetan:

Zatikako metodoaren erabileraren beste adibide bat:

➤Beharrezkoa al da zatikako metodoaren formula? Ba al dago integral hauek ebazterik formula erabili gabe?

Formula lortzeko jarraituriko pausoak aztertuta, berehala konturatzen gara u·v biderkaduraren deribatua klabea dela. Biderkadura hau deribatzerakoan integratu nahi dugun f funtzioa agertzea lortuko bagenu, integrala ia ebatzita izango genuke. Beraz, gakoa hor dago, u.v egoki aukeratzean, honen deribatua kalkulatzerakoan (u'·v+u·v') integratu nahi dugun funtzioa (∫f·dx) batugaietako batean agertu behar da (f = u'·v edo f = u·v').

Adibide 1 

Adibide bera, formula eskuratzeko jarraituriko pausoekin konparatuz:

Adibide 2

Adibide 3 (bideoa)

Adibide 4 (aurkezpena)

*****