2014-02-17

Fibonacciren segida, zenbaki pitagorikoen sortzaile


Pitagorasen Teorema matematikaren historiako teoremarik famatuena, ezagunena, erabilena eta egiaztapen gehien onartu duena dugu zalantza barik. Gogora dezagun zer dioen:

"Triangelu zuzen guztietan, alde luzeenaren (hipotenusaren) luzeraren berbidura beste bi aldeen (katetoen) luzeren berbiduren batura da"

edo ikuspuntu geometrikotik:

"Triangelu zuzen guztietan katetoen gainean eraikitako karratuen azaleren batura eta hipotenusaren gainean marraztutako karratuaren azalera berdinak dira"

 

Teorema hau bi aldetara egiaztatzen da, hau da, aipatutako propietatea egiaztatzen duen triangelua zuzena da.

Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbakiei terna pitagorikoak deritze. Holako terna kopurua, dakigunez, infinitua da, eta grekoen garaitik ezagunak dira zenbaki hirukote hauek eskuratzeko formulak.

Baina gaurkoan Pitagorasen Teorema Fibonacciren segidaren zenbakien artean bilatu eta aurkitu egingo dugu. Ez da berehalakoan agertuko, segidako gaiak era egokian aukeratu ondoren, zenbait eragiketa egin beharra dago aurrez-aurre teorema famatua ager dadin.

Hona hemen eman beharreko pausoak:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

  • Segidako ondoz ondoko edozein 4 gai aukeratu (adibidez: 3, 5, 8, 13)
  • Bidertu muturretakoak:  (3·13 = 39)
  • Kalkulatu erdiko bien biderkaduraren bikoitza:  (2·5·8 = 80)
  • Erdiko bien karratuen batura egin:  (52 + 82 = 89)

Erraz konproba dezakegu (39, 80, 89) terna pitagorikoa dela:

392 + 802 = 892

1, 1, 2, 3 aukeratzen baditugu, (3, 4, 5) "triangelu egipziarra" dugu eta 1, 2, 3, 5 gaiekin (5, 12, 13) "triangelu indiarra".
Saia zaitez beste batzuk aurkitzen.

Beraz, Fibonacciren segidak metodo erraz bat eskeintzen digu Pitagorasen teorema egiaztatzen duten zenbaki hirukoteak lortzeko.

Baina, propietate hau Fibonacciren segidarena da soilik ala orokorragoa da?

Propietate hau orokorragoa da, lehenengo bi gaiak definituz, ondorengoak aurreko biren batura eginez eratzen diren segida errepikari guztiek egiaztatzen dute:

..., q, n, m, p, ...

non,
p=m+n eta q=m-n

a, b eta c aukeratuz,

a=pq=(m+n)(m-n)=m2-n2

 b=2nm

 c=n2+m2

 
Orduan,


a2+b2=
=(m2-n2)2+(2nm)2=
=(m2)2+(n2)2-2m2n2+4m2n2=
=(m2)2+(n2)2+2m2n2=
=(n2+m2)2=
= c2
 
 


Euklidesen "Elementuak" liburu bilduman (13 liburuz osatua), X. liburuan hain zuzen ere, terna pitagorikoak eratzeko formulak agertzen zaizkigu, Fibonacciren eta, orokorrean, Fibonacciren segidaren moduko segida errepikarien barnean dauden berberak. Formula hauek osoak diren soluzio guztiak  ematen dizkigute (osoak ez diren soluzioak ere sor daitezke):

 

 

 

iruzkinik ez:

Argitaratu iruzkina