PROBLEMA 5 (OPE-2018-EPE)

PROBLEMA 5 (2018ko EPEa)

Hurrengo murrizketak emanda, Zein da zoriz aukeratutako puntu baten koordenatu biak positiboak izateko probabilitatea? Eta bi koordenatuak zenbaki osoak izateko?

1. Galdera

Emandako murrizketak planoko A eremu bat definitzen dute:

Koordenatu biak positiboak diren eremua A+ izendatuko dugu:

Homogeneotasun printzipioan oinarrituz, A eremu barruko Aⱼ azpimultzo bakoitzari bere azalarekiko proportzionala den probabilitatea esleitzen zaio; Hain zuzen ere:

P(Aⱼ)=Azalera Aⱼ/Azalera A=｜A｜/｜Aⱼ｜

Non A-ren probabilitatea P(A)=1 den. Probabilitatea esleitzeko modu hau banaketa uniforme izenez ezaguna da.

Orduan, zoriz aukeratutako puntu baten koordenatu biak positiboak izateko probabilitatea, bi eremu hauen azaleren arteko erlazioak ematen digu:

          P(x,y:+,+)=｜A+｜/｜A｜
                     bi koordenatuak +

Bi azalera hauek kalkulatzeko oinarrizko geometria eta kalkulu integrala erabiliko dugu:

Irudiko eremu triangeluarren azalerak oina·altuera/2:

y=4/x funtzioak Xardatzarekin x=1 eta x=2ren artean mugaturiko R barrutiaren azalera:

T₂ eremuan "y" ordenatua negatiboa da. P(x,y:+,+) bi koordenatuak positiboak izateko probabilitatea eta  P(x,y:+,-) "y" koordenatua negatiboa izateko probabilitatea izendatzeko erabiltzen badira, zera idatz daiteke:

P(x,y:+,+)=｜A+｜/｜A｜

edo

P(x,y:+,+)=1⎯P(x,y:+,⎯)=1⎯｜T₂｜/｜A｜

Hau da,

Edo zuzenean:

2. Galdera

Bi koordenatuak osoak izateko probabilitatea zero da; puntu multzo honen azalera (neurria) nulua delako; ez du ℜ² espazio euklidearreko A multzoaren barnean azalerarik mugatzen.

*****