2015-10-16

Txanponak, bolak eta probabilitatea


Orain probabilitateko problemak. Ez dira batere intuitiboak:


 PROBLEMA 1

Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apostua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela. 

Zer da probableagoa ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?





PROBLEMA 2
 
Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:

Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?




PROBLEMA 3


5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:
Nola egin behar da bolen banaketa? 
Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?









27 iruzkin:

  1. Lehenengo probleman, ekiprobableak dira nire ustez.

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Horixe pentsatu nuen nik lehenengo aldiz irakurri nuenean.
      Pentsatu apur bat gehiago, intuizioa astintzen duen problema bat da.
      Monty Hall-en problema ezagutzen duzu?
      http://eginmatematika.blogspot.com.es/2013/12/monty-hall.html

      Ezabatu
    2. Monty Hall-en problema ikusi dut eta ez ditut parekoak ikusten.
      Monty Hall-en egoeran, apostua pista eman baino lehen egiten da. Problema honetan, aldiz, apostua pista eman ondoren eskatzen da, eta bi aukerak ekiprobableak dira, nire ustez.
      Nik, Monty Hall-en egoeran ulertzeko, beste modu honetan planteatuko nuke:
      ..................
      Txanpon bat ateratzen dugu. Hiruretako baten alde apostua egin behar dugu.
      Demagun zuri-zuriren alde egiten dugula apostu. Orduan, poltsako txanpon bat erakusten digute eta zuri-gorri da. Apostua aldatzeko aukera ematen badigute, zuri-zuriren alde egiten jarraituko zenuke edo gorri-gorriren alde?

      Ezabatu
    3. Ez dira problema berdinak, baina bietan intuizioak probabilitate berbera dagoela esatera eramaten gaitu. Bereziak dira oso.
      Txanponen kasuan ipini zenbakiak aurpegiei Z1Z2 , G1G2 eta Z3G3. Txapon bat hartu eta gora begira jarri, gora begira dagoen aurpegi hori zuria da, zein zuri gora begira?, G1G2 baztertu,...
      Jarraitu eta bihar komentatu.
      Mila esker Gontzal.

      Ezabatu
    4. Orain bai, ulertu dut. Aurpegi bat erakusten denean, aukera guztiak txanponak bezala ikusi beharrean, aurpegiak bezala ikusi behar dira. Beraz, zuri zuri izatea probabilitate bikiotza du. Mila esker Jose Luis

      Ezabatu
  2. Erantzunak
    1. Bai, hau aljebrarekin egin daiteke. 3 bola zuri eta beltz bat daude, beraz ezin dira bi bola beltz atera.

      Ezabatu
    2. Oso ondo Ziortza. Aljebrarekin erraz irteten da.
      Zorionak!

      Ezabatu
    3. Azalduko didazue ebazteko prozedura, mesedez?

      Ezabatu
    4. Bai Marta. Modu errazena eta azkarrena logika erabilita, probabilitateak kalkulatu gabe: guztira 4 bola daude eta bi zuri ateratzeko P 1/2 da. Beraz, 2 bola zuri gutxienez daude. Eta beltz? Bakoitzeko 2 bola egongo balira, bi beltz ateratzeko P 1/2 ere izan beharko luke.
      Eta orduan beltz bat eta zuri bat ateratzearen P? 0 absurdo
      Hortaz, bola beltz bat bakarrik dago.
      Zein izango da bi beltz ateratzearen P ba?

      Ezabatu
    5. Mila esker! Ikasleekin gertatzen den moduan probabilitatea eta estatistika da gutxien jorratu ditudan atalak...

      Ezabatu
    6. Oso era errazean azaldu duzu Gontzal, DBH 1-ko ikasleek ulertzeko moduko azalpena eman duzu. Zorionak eta eskerrik asko.

      Ezabatu
    7. Nik aljebrarekin egin dut. x=bola zuriak eta 4-x=bola beltzak. Bi bola zuri ateratzeko, lehenengoa zuria eta bigarrena zuria izan behar dira:

      x/4*(x-1)/3=1/2

      Ezabatu
    8. Nik aljebrarekin egin dut. x=bola zuriak eta 4-x=bola beltzak. Bi bola zuri ateratzeko, lehenengoa zuria eta bigarrena zuria izan behar dira:

      x/4*(x-1)/3=1/2

      Ezabatu
  3. Hirugarrenean,
    KUTXA batean: 2 zuri, 1 beltz
    Beste KUTXAn : 3 zuri, 4 beltz
    Probabilitatea, 23/42

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. KUTXA batean: 2 zuri, 4 beltz eta beste KUTXAn 3 zuri, 1 beltz, P=13/24>1/2 ere

      Ezabatu
    2. Oso ondo Gontzal!
      Baian, gezurra dirudien arren badago beste banaketa bat nabarmen igotzen duena bola zuria ateratzeko probabilitatea.
      Beti egoten da banaketaren bat kontuan izaten ez duguna.
      Benetan harrigarria da, ez ustekoa hartuko duzu.

      Ezabatu
  4. Agggg!! Gaizki irakurri/ulertu nuen. Gutxienez kolore bakoitzeko bola bat egon behar zuela ulertu nuen, eta ez gutxienez bola bat. Hortaz, enuntziatua ondo ulertzearen garrantzia.
    P>1/2 aukera anitz daude, aurrekoan jarritakoaz gain:
    KUTXA 1: zuri 1, beltz 0 KUTXA 2: 4 zuri, 5 beltz P = 13/18
    KUTXA 1: zuri 1, beltz 5 KUTXA 2: 4 zuri, 0 beltz P = 7/12
    KUTXA 1: zuri 2, beltz 0 KUTXA 2: 3 zuri, 5 beltz P = 11/16
    KUTXA 1: zuri 2, beltz 5 KUTXA 2: 3 zuri, 0 beltz P = 9/14
    Guztien artean, banaketa egokiena
    KUTXA 1: zuri 1, beltz 0 KUTXA 2: 4 zuri, 5 beltz P = 13/18 = 0,722222...

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Orain bai, oso oso ondo. Gainera bost banaketa eman dituzu eta horien artean probabilitatea maximizatzen duena. Zorionak!
      Gaizki ulertu edota irakurtzearena, lasai, neu naiz txapelduna.

      Ezabatu
  5. Problema batean nik ere pentsatu dut probabilitate berbera dutela (sei bola ezberdin izango bagenitu moduan), begiratuko dut zuk ipinitako lotura.
    Bigarrenean txarto egin dut.
    Hirugarrenean nire erantzuna: probabilitatea 1/2 baino handiagoa da kutxa batean 5 beltzak kokatzen ditugunean. Probabilitate maximoa izango da 13/18 1Z 0B eta 4Z 5B


    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Ederto Marta! Buruari gogoz ematen diozu. Problema hauek hasiera batean ez dira batere errazak, intuizioak izugarrizko indarra dauka eta batzutan bide okerretik eramaten gaitu. Adrian Paenzak esaten duenez "problemas que atentan contra la intuición"; horregatik dira hain erakargarriak.

      Ezabatu
  6. Hirugarren problema: Nik kutxa baatean bola zuri bat bakarrik sartuko nuke eta beste guztiak (9) beste kutxan.
    Ez daukat kuentak egiteko gogorik baina seguru nago erdia baino dezente handiagoa dela probabilitatea

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Aupa Jabier! Ederto! Dezente handiagoa da, ia hiru laurden...Egin kalkuluak motel!

      Ezabatu