Laukizuzenen azalerak konparatzen

Nola konpara dezakegu aldeak neurtu barik bi laukizuzenen azalerak?



Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den? 

Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.   

Geogebran egindako applet honek argituko dizu bidea. Mugitu P puntu gorria eta kokatu han eta hemen, hainbat lekutan, laukizuzen berdearen barnean, urdinean eta diagonalean:

Zer ikusten da? Ikusitakoaren arabera, konjetura bat proposa daiteke, zein?

http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611


Saia zaitez orain azalpena ematen; hau da, planteatu duzun konjeturaren egiaztapen geometrikoa emanez.

Jarraian azalpen posible bat,



AZALPENA

Bi laukizuzenak erpin batetik lotuko ditugu,



Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marraztuko dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan.
Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,

Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz, 

Azalera 1 = Azalera 1'

Azalera 2 = Azalera 2'
Azalera 123 = Azalera 1'2'3'

(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')

Ondorioz,

Azalera 3 = Azalera 3'

Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.

Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?

P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),



Ondorioz,

P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.





Oharra:  Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan). 

*****