2015-10-02

Bi koloreen problema



Marraztu orri batean nahi beste zuzen; argi dago,zuzen kopuru finitoa izango dugula. Adibidez,

Hainbat eskualdetan geratu da banatu orria. Mapa baten antzera eskualde bakoitza herrialde bat da. Bi kolore (gorria eta berdea) erabiliko ditugu mapa hau koloreztatzeko, baina baldintza bati jarraituz: muga zati bat (puntu bat ez da muga zatia) partekatzen duten herrialdeen kolorea desberdina izatea nahi da.

Gure adibidean, margotzeko era bat da ondorengoa,



Kasu honetan soluzio bat aurkitu dugu. Baina herrialde kopurua edozein izanda ere:


Posiblea al da margotzea jarritako baldintza errespetatuz? 

Nola?


Baiezko kasuan, bururatzen al zaizu estrategia edo prozedura bat, pausoz-pausoz jarraituta helburua lortzea ahalbideratuko duena?




AZALPENA

6 iruzkin:

  1. Bai, puntu batean talka egiten duten eskualdeak aurkako angeluak sortzen dituzte punto horretan. Eskualde horiek kolore berdinez margotzen badira, ateratzen zaigu nahi duguna, ez da?

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Oso ondo Gontzal.
      Eta beste zuzen bat marrazten badugu? Eta beste bat?...
      Indukzioa frogatzeko?
      Mila esker

      Ezabatu
    2. Indukzioa?? ea ba, saiatuko naiz. Marrazkirik gabe ulertzeko pixkat zaila.
      n=1
      r zuzena s1 zuzenarekin ebakitzean, 4 eskualde sortzen dira, alde bakoitzean 2 (s1-en aldeetan ere). Alde bakoitzean kolore desberdinak erabiliko ditugu.
      n=2
      r zuzena s1 eta s2 zuzenek ebakitzen badute, r-ren alde bakoitzean 3 eskualde sortzen dira. Alde batean kolore desberdinak txandakatuz margotuko dugu. s1 eta s2 zuzenak, paraleloak ez badira, beste biekin horrenbeste eskualde izango dituzte, eta prozedura berdina erabiliko dugu margotzeko. (paraleloak izango balira n=1 kasuan egongo lirateke).
      Suposa dezagun r zuzena s1, s2,... sn zuzenek ebakitzen dutela. Beraz, r-ren alde bateko n+1 eskualdeak koloreak txandakatuz margotuko ditugula, eta s1, s2,.... eta sn-ren eskualdeak ere.
      s(n+1) zuzena marrazten badugu, r-ren alde bakoitzean n+2 eskualde egongo dira. Horren alde batean, eskualde berria dagokion kolorearekin margotuko dugu. r eta s(n+1) zuzenen artean 4 eskualde sortuko dira, eta n=1 kasuan gaude margotzearen prozedura erabiltzeko.
      Eta s1, s2, ...., sn eta s(n+1) artean sortzen diren eskualdeak nola margotu?
      Horien artean, gehienez, n aldiz ebaki daitezke eta n+1 eskualde sortu alde bakoitzean. Beraz, suposatutakoaren barnean sartzen da.
      Ufff!!! txapada hau nik bakarrik ulertzen dudalaren sentsazioa daukat...

      Ezabatu
  2. Erantzun ona iruditzen zait Gontzal, nik adierazpen sentziloago batekin nenbilen,
    Margotzen hasi eta lerro zuzen bat aurkitutakoan kolorez aldatu. Honetan ari nintzen pentsatzen

    ErantzunEzabatu
    Erantzunak
    1. Bide honetik zoaz.
      Lehenengo zuzen bat marraztu eta margotu (eremu bat gorriz eta bestea berdez). Ondoren bigarren zuzena marraztu, zer egin behar da emandako baldintza egiaztatzeko? (koloreak behar denean aldatu daitezke).
      Beste buelta bat emun.
      Mila esker.

      Ezabatu
  3. Mila esker Gontzal! Hori da buruari ematea!
    Gakoa da eskualdeen kolorea aldatzea. Zure azalpenean horretan oinarritzen zara, bidea hori da, baina gero galdu egiten naiz.
    Problema hau, Miguel De Guzmanen "Para pensar mejor" liburuan irakurri nuen lehenengo aldiz eta berehala sorgindu ninduen, ederra da. Honela ebazten du M. De Guzmanek, ea zer iruditzen zaizun:

    *n=1 denean, lehenengo zuzena marraztu eta honek bi eskualdetan banatzen du orria; alde bat gorriz eta bestea berdez, eta listo, posiblea da.
    *Demagun koloreztatu daitekela n = k zuzen daudenean, egiaztatu behar dugu n = k+1 kasua.
    *Orrian n = k + 1 zuzen marraztuko ditugu.
    *Zuzen bat kenduko dugu, horrela k zuzen izango ditugu, eta dakigunez posiblea da koloreztatzea.
    *n = k kasua koloreztatu eta gero, lehen kendutako zuzena bere lekuan ipiniko dugu berriz.
    *k+1 garren zuzen honek orria bi zatitan banatzen du.
    *Zati batean dauden eskualde guztien koloreak aldatu eta beste aldekoak dauden moduan utzi.
    *Bukatu dugu, k + 1 zuzenekin ere koloreztatu daiteke eskatutako eran.

    ErantzunEzabatu